[논문 리뷰] Chain coalgebras and distributivity

Christian Lomp, Alveri Sant’Ana|ArXiv.org|2006. 10. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽 코이델 라티스가 분배적 랏스를 이루는 코알제브라를 사슬 코알제브라—코이델 라티스가 완전 순서를 이룬 코알제브라—의 코곱으로 특성화한다. 유한 차원의 사슬 코알제브라가 기저 체 위의 유한 차원 분할 대수를 갖는 노에터 사슬 링의 유한 쌍대임을 보이며, 무한 차원의 경우는 왼쪽 노에터 사슬 도메인의 유한 쌍대임을 보인다. 완전한 체 위에서는 모든 무한 차원 사슬 코알제브라가 분할 대수 위의 멱급수환의 쌍대 또는 코텐서 코알제브라로 표현된다.

ABSTRACT

We show that coalgebras whose lattice of right coideals is distributive are coproducts of coalgebras whose lattice of right coideals is a chain. Those chain coalgebras are characterized as finite duals of noetherian chain rings whose residue field is a finite dimensional division algebra over the base field. They also turn out to be coreflexive and infinite dimensional chain coalgebras turn out to be finite duals of left noetherian chain domains. Given any finite dimensional division algebra D and D-bimodule structure on D we construct a chain coalgebra as a cotensor coalgebra. Moreover if D is separable over the base field, every chain coalgebra of type D can be embedded in such a cotensor coalgebra. As a consequence cotensor coalgebras arising in this way are the only infinite dimensional chain coalgebras over perfect fields. Finite duals of power series rings with coeficients in a finite dimensional division algebra D are further examples of chain coalgebras, which also can be seen as the tensor product of D* and the divided power coalgebra and can be realized as the generalized path coalgebra of a loop. If D is central, any chain coalgebra is a subcoalgebra of the finite dual of D[[x]].

연구 동기 및 목표

• 오른쪽 코이델 라티스가 분배적인 코알제브라를 특성화하기 위해.
• 기본 체 위에서 사슬 코알제브라—오른쪽 코이델 라티스가 완전 순서를 이루는 코알제브라—를 분류하기 위해.
• 완전한 체 위에서 무한 차원 사슬 코알제브라의 구조를 규명하기 위해.
• 코텐서 코알제브라와 비가환 멱급수환을 이용해 비공형적 사슬 코알제브라의 구체적 예를 구성하기 위해.
• 완전한 체 위에서 모든 무한 차원 사슬 코알제브라가 왼쪽 노에터 사슬 도메인 또는 특정 멱급수환의 유한 쌍대로 나타남을 보여주기 위해.

제안 방법

• 코알제브라와 대수 사이의 대칭성: 코알제브라 C가 사슬 코알제브라일 조건은 C*가 그 반대 대수 위에서 유일순서 모듈러임을 보임.
• 기본 체 위의 유한 차원 분할 대수를 갖는 노에터 사슬 링의 유한 쌍대로서 유한 차원 사슬 코알제브라를 특성화함.
• 왼쪽 노에터 사슬 도메인의 유한 쌍대로서 무한 차원 사슬 코알제브라를 구성함.
• 분할 대수 D 위에서 주어진 이중모듈러 구조를 갖는 코텐서 코알제브라를 통해 사슬 코알제브라를 실현함.
• C* ≃ D[[x]] 또는 D[[x,α]]의 동형을 이용해 멱급수환의 유한 쌍대가 사슬 코알제브라임을 식별함.
• 완전한 체 위에서 모든 무한 차원 사슬 코알제브라가 D가 중심이거나 비가환일 경우 D[[x]] 또는 비가환 멱급수환 D[[x,α]]의 유한 쌍대임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 코알제브라가 오른쪽 코이델 라티스가 분배적인가? 그리고 어떻게 분해될 수 있는가?
• RQ2 사슬 코알제브라 C에 대해 그 쌍대 대수 C*의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 대수적으로 닫히지 않은 체 위에서 비공형적 사슬 코알제브라를 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 완전한 체 위에서 무한 차원 사슬 코알제브라의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ5 R(실수), C(복소수), H(쿼aternion)와 같은 유한 차원 분할 대수 D는 그 멱급수 쌍대를 통해 어떤 다른 사슬 코알제브라를 유도하는가?

주요 결과

• 오른쪽 코이델 라티스가 분배적인 모든 코알제브라는 사슬 코알제브라의 코곱과 동형임이 보장된다.
• 유한 차원 사슬 코알제브라는 정확히 기저 체 위의 유한 차원 분할 대수를 갖는 노에터 사슬 링의 유한 쌍대임이 증명된다.
• 무한 차원 사슬 코알제브라는 왼쪽 노에터 사슬 도메인의 유한 쌍대임이 증명된다.
• 실수체 위에서는 유일한 무한 차원 사슬 코알제브라는 R[[x]]°, C[[x]]°, C[[x,α]]°, H[[x]]°이며, 여기서 α는 복소수 켤레를 의미한다.
• 모든 유한 차원 분할 대수 D와 D-이중모듈러 구조가 주어진 경우, 사슬 코알제브라를 코텐서 코알제브라로 구성할 수 있으며, D가 분리 가능할 경우 이러한 모든 사슬 코알제브라가 이 코텐서 코알제브라에 포함됨이 보장된다.
• D가 중심일 경우, 모든 사슬 코알제브라는 D[[x]]의 유한 쌍대의 부분코알제브라임이 증명된다.