[논문 리뷰] Chain groups of homeomorphisms of the interval

Sang-Hyun Kim, Thomas Koberda외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구간의 방향을 유지하는 호메오모르피즘의 집합에서 톰슨의 군 F를 일반화한 체인 군을 도입하며, 이들이 두 가지 성질 중 하나를 갖는다는 것을 보여준다: 또는 그 교환자부군이 단순하다. 또는 그 작용이 와일딩 인터발을 가지며, 단순 교환자부군을 갖는 표준 몫을 허용한다. 주요 기여는 Homeo⁺(I)의 모든 유한생성 부분군이 최소 체인 군에 임베딩될 수 있다는 점으로, 이는 비가산 수의 단순 부분군 및 구간 위에서 비자명한 C¹ 작용을 갖지 않는 군의 이소모르피즘 타입을 암시한다.

ABSTRACT

We introduce and study the notion of a chain group of homeomorphisms of a one-manifold, which is a certain generalization of Thompson's group $F$. The resulting class of groups exhibits a combination of uniformity and diversity. On the one hand, a chain group either has a simple commutator subgroup or the action of the group has a wandering interval. In the latter case, the chain group admits a canonical quotient which is also a chain group, and which has a simple commutator subgroup. On the other hand, every finitely generated subgroup of $\operatorname{Homeo}^+(I)$ can be realized as a subgroup of a chain group. As a corollary, we show that there are uncountably many isomorphism types of chain groups, as well as uncountably many isomorphism types of countable simple subgroups of $\operatorname{Homeo}^+(I)$. We consider the restrictions on chain groups imposed by actions of various regularities, and show that there are uncountably many isomorphism types of $3$--chain groups which cannot be realized by $C^2$ diffeomorphisms, as well as uncountably many isomorphism types of $6$--chain groups which cannot be realized by $C^1$ diffeomorphisms. As a corollary, we obtain uncountably many isomorphism types of simple subgroups of $\operatorname{Homeo}^+(I)$ which admit no nontrivial $C^1$ actions on the interval. Finally, we show that if a chain group acts minimally on the interval, then it does so uniquely up to topological conjugacy.

연구 동기 및 목표

• 구간의 방향을 유지하는 호메오모르피즘의 군 내에서 톰슨의 군 F의 자연스러운 일반화로서 체인 군을 정의하고 연구하는 것.
• 체인 군의 정규부군 구조를 분석하여, 최소 작용과 단순 교환자부군을 갖는 경우와 와일딩 인터벌을 갖는 경우 사이의 이분법을 보여주는 것.
• Homeo⁺(I)의 모든 유한생성 부분군이 최소 체인 군에 임베딩될 수 있음을 보여주어, 풍부하고 다양한 부분군 구조를 암시하는 것.
• 체인 군의 미분구조에 대한 규칙성 제약 조건을 조사하여, 특히 일부 체인 군이 C¹ 또는 C² 미분구조로 표현될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 체인 군의 최소 작용이 위상동형에 대해 유일함을 증명하기 위해 루빈의 정리를 사용하고 국소 밀도 성질을 활용하는 것.

제안 방법

• n-체인 군을 정의하여, 서로 겹치는 지지집합을 가진 n개의 호메오모르피즘으로 생성된 군으로, 각 인접한 쌍이 톰슨의 군 F의 복사본을 생성하는 군으로 정의한다.
• 사전체인 군의 개념을 사용하여, 생성자의 고차항이 체인 군을 만든다는 것을 보이고, 정리 1.1을 증명한다.
• 루빈의 정리를 적용하여, 최소 체인 군 간의 임의의 동형사상이 위상동형에 의해 유도된다는 것을 보인다.
• 임의의 유한생성 부분군이 Homeo⁺(I)에 대해 (n+2)-또는 (n+1)-체인 군에 임베딩될 수 있음을 구성하여, 정리 1.4를 증명한다.
• 오빗 폐쇄와 지지구조를 통한 체인 군의 역학적 행동을 분석하여, 최소 작용과 와일딩 인터벌을 갖는 작용을 구분한다.
• 위상동형과 지지집합 제어를 사용하여 국소 밀도와 작용의 최소성을 보이며, 특히 최소 체인 군의 경우에 대해 특별히 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Homeo⁺(I)의 모든 유한생성 부분군은 체인 군에 임베딩될 수 있는가? 만약 그렇다면, 최소 체인 크기는 얼마인가?
• RQ2 체인 군의 교환자부군의 구조는 무엇이며, 언제 단순한가?
• RQ3 체인 군이 C¹ 또는 C² 미분구조로 표현될 수 있는 규칙성 조건은 무엇이며, 비가산 수의 표현 불가능한 타입이 존재하는가?
• RQ4 체인 군의 구간 위의 최소 작용은 위상동형에 대해 유일한가?
• RQ5 와일딩 인터벌 등의 역학적 행동과 체인 군의 대수적 구조 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Homeo⁺(I)의 모든 유한생성 부분군은 (n+2)-체인 군에 임베딩될 수 있으며, 첫 번째 생성자의 지지집합이 유한한 성분을 가질 경우 (n+1)-체인 군에 임베딩될 수 있다.
• 비가산 수의 체인 군 이소모르피즘 타입이 존재하며, 비가산 수의 Homeo⁺(I)의 가산 단순 부분군 이소모르피즘 타입도 존재한다.
• C² 미분구조로 표현될 수 없는 3-체인 군의 비가산 수의 이소모르피즘 타입이 존재한다.
• C¹ 미분구조로 표현될 수 없는 6-체인 군의 비가산 수의 이소모르피즘 타입이 존재한다.
• 체인 군이 구간 위에 최소적으로 작용한다면, 이 작용은 위상동형에 대해 유일하다.
• 체인 군은 교환자부군이 단순하거나, 단순 교환자부군을 갖는 표준 몫을 갖는다.