[논문 리뷰] Chang Palais-Smale condition and global inversion

Olivia Gutú|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 15.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 실수 벨라흐 공간 사이의 국소적 $C^1$-微분동형사상 $f: X \to Y$ 가 전역적 $C^1$-微분동형사상이 되기 위한 충분조건을 설정한다: 모든 $y \in Y$ 에 대해 함수 $x \mapsto \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ 가 창 팔라이-스미스 조건을 만족하면, $f$ 는 노름-강한이고 전역적으로 가역적임을 보여준다. 이 결과는 변분 방법을 통해 팔라이-스미스 조건과 전역적 가역성 간의 연결을 통해 고전적인 전역 역함수 정리들을 일반화한다.

ABSTRACT

Let f be local diffeomorphism between real Banach spaces. We prove that if the locally Lipschitz functional F(x)=1/2|f(x)-y|^2 satisfies the Chang Palais-Smale condition for all y in the target space of f, then f is a norm-coercive global diffeomorphism. We also give a version of this fact for a weighted Chang Palais-Smale condition. Finally, we study the relationship of this criterion to some classical global inversion conditions.

연구 동기 및 목표

• 실수 벨라흐 공간 사이의 국소적 $C^1$-微분동형사상이 전역적 $C^1$-微분동형사상이 되기 위한 충분조건을 설정하는 것.
• 함수 $f$ 에서 유도된 특정 함수에 대해 팔라이-스미스 조건을 사용하여 고전적인 반니-마주르-카치오플리 정리를 일반화하는 것.
• 팔라이-스미스 조건과 히드라르-레비-플라스트록 및 캐트리엘 조건과 같은 다른 고전적인 전역 역함수 기준 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 무한차원 설정에서 미분 가능하지 않은 함수에 대해 가중치가 부여된 창 팔라이-스미스 조건을 도입하고 분석하는 것.

제안 방법

• 각 $y \in Y$ 에 대해 함수 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ 를 정의하며, 이는 $Y$ 가 힐베르트 공간일 경우 국소적 리프시츠 함수이자 $C^1$-연속임을 보장한다.
• 함수 $F_y$ 에 대해 창 팔라이-스미스 조건을 적용하여, $F_y(x_n)$ 이 유계이고 $\|\nabla F_y(x_n)\| \to 0$ 인 모든 수열이 수렴하는 부분수열을 가짐을 요구한다.
• 무한차원 설정에서의 비미분가능한 함수에 대해, 무거운 창 팔라이-스미스 조건의 일반화된 형태를 도입하며, 무어티아누 등이 제시한 결과를 확장한다.
• 에켈란의 변분 원리와 마운틴패스 유형의 추론을 사용하여 팔라이-스미스 조건으로부터 단사성과 전사성을 도출한다.
• 기존 기준과의 관련성을 규명: 히드라르-레비-플라스트록 조건이 어떤 가중치에 대해 무거운 창 팔라이-스미스 조건을 함의함을 보인다.
• 함수 $F_y$ 에 대해 팔라이-스미스 조건이 성립하면, $f$ 가 노름-강한이자 전역적으로 가역적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 벨라흐 공간 사이의 국소적 $C^1$-微분동형사상이 전역적 $C^1$-微분동형사상이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 함수 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ 에 대해 창 팔라이-스미스 조건이 성립할 경우, $f$ 가 전역적으로 가역적임을 보장하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 팔라이-스미스 조건과 반니-마주르-카치오플리, 히드라르-레비-플라스트록, 캐트리엘의 정리와 같은 고전적인 전역 역함수 정리 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 무거운 형태의 팔라이-스미스 조건을 통해 무한차원 설정에서 더 넓은 범위로 적용 가능하게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 조건 $\inf_{|x|\leq \rho}\|df(x)^{-1}\|^{-1} \to \infty$ 가 $\rho \to \infty$ 일 때, 함수 $F_y$ 가 무거운 창 팔라이-스미스 조건을 만족하는가?

주요 결과

• 함수 $F_y(x) = \frac{1}{2}\|f(x) - y\|^2$ 가 모든 $y \in Y$ 에 대해 창 팔라이-스미스 조건을 만족하면, $f$ 는 노름-강한 전역적 $C^1$-微분동형사상이 된다.
• 무거운 창 팔라이-스미스 조건은 표준 조건을 일반화하며, 벨라흐 공간 내 국소적 리프시츠 함수에 적용 가능하다.
• 히드라르-레비-플라스트록 조건 $\int_0^\infty \inf_{|x|\leq \rho} \|df(x)^{-1}\|^{-1} d\rho = \infty$ 는 어떤 가중치에 대해 무거운 창 팔라이-스미스 조건을 함의한다.
• 캐트리엘 조건 — 즉, 모든 $\varrho > 0$ 에 대해 $\inf_{|f(x)-y|<\varrho} \text{Sur}(f,x) > 0$ — 는 함수 $F_y$ 에 대해 창 팔라이-스미스 조건을 함의한다.
• 유한차원에서는 조건 $\star\star)$, $4)$, $5)$, $\star)$, 및 $6)$ 가 모두 동치이며, 모두 전역적 미분동형사상임을 함의한다.
• 함수 $F_y$ 가 창 팔라이-스미스 조건을 만족하면, $f(x_n) \to y$ 인 수열에서 $\text{Sur}(f,x_n) \to 0$ 이 되는 경우는 배제되며, 이는 전역적 가역성을 보장한다.