[논문 리뷰] Change of numeraire in the two-marginals martingale transport problem

Luciano Campi, Ismail Laachir외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양측의 마팅게일 최적 운반 문제에 대해 양의 마팅게일에 대해 수단의 변화 기법을 도입하여, 제1형과 제2형 프론트 스타트 스트래들 간의 교환을 보여주며, 이로 인해 둘 다 동일한 최적 운반 계획을 갖게 된다. 또한 수단의 변화 하에서 오른쪽 단조적 이행 계획이 왼쪽 단조적 계획의 거울 쌍임을 보이며, 모델 불확실성 하에서의 강건한 헤징에서의 구성들을 통합한다.

ABSTRACT

In this paper we apply change of numeraire techniques to the optimal transport approach for computing model-free prices of derivatives in a two periods model. In particular, we consider the optimal transport plan constructed in \cite{HobsonKlimmek2013} as well as the one introduced in \cite{BeiglJuil} and further studied in \cite{BrenierMartingale}. We show that, in the case of positive martingales, a suitable change of numeraire applied to \cite{HobsonKlimmek2013} exchanges forward start straddles of type I and type II, so that the optimal transport plan in the subhedging problems is the same for both types of options. Moreover, for \cite{BrenierMartingale}'s construction, the right monotone transference plan can be viewed as a mirror coupling of its left counterpart under the change of numeraire. An application to stochastic volatility models is also provided.

연구 동기 및 목표

• 모델 불확실성 하에서의 모델 프리 없는 가격 설정에서 수단의 변화를 최적 운반 문제에 확장하는 것.
• 수단의 변화 변환 하에서 제1형과 제2형 프론트 스타트 스트래들 간의 대칭성을 분석하는 것.
• Hobson과 Klimmek(2015)의 최적 운반 계획이 수단의 변화를 통해 두 스트래들 유형 모두에 동일하게 적용됨을 보여주는 것.
• 양의 마팅게일에 대해 수단의 변화 시 오른쪽 단조적 이행 계획이 왼쪽 단조적 계획의 거울 이미지임을 보여주는 것.
• 대칭적인 확률적 볼라티리티 모델에서 최적 운반 계획을 구성하는 통합 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 양측의 마팅게일 운반 문제에 대해 양의 모ーメ이탈을 갖는 수단의 변화 변환을 적용한다.
• 수단의 변화를 통해 제1형( |Y/X - 1| )과 제2형( |X - Y| ) 프론트 스타트 스트래들 간의 수익 구조를 연결한다.
• Hobson-Klimmek 최적 쌍체화가 제1형과 제2형 스트래들 간의 수단의 변화에 대해 불변임을 입증한다.
• 오른쪽 단조적 이행 계획이 수단의 변화를 통해 왼쪽 단조적 계획의 거울 쌍으로서 유도됨을 도출한다.
• 변환을 대칭적인 로그노멀 모ーメ이탈에 적용하고, 블랙-숄즈 및 상관 없는 확률적 볼라티리티 모델에서 불변성을 검증한다.
• 이중성 이론과 일반화된 스펜스-미르리즈 조건을 활용하여 수단의 변화에 따른 최적성의 불변성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수단의 변화는 두 마팅게일 운반 문제에서 제1형과 제2형 프론트 스타트 스트래들에 대한 최적 운반 계획에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 양의 마팅게일에 대해 수단의 변화를 통해 오른쪽 단조적 이행 계획을 왼쪽 단조적 계획의 거울 이미지로 유도할 수 있는가?
• RQ3 Hobson과 Klimmek(2015)의 최적 쌍체화가 스트래들 유형 간 수단의 변화에 대해 여전히 최적인가?
• RQ4 수단의 변화는 모델 프리 가격 설정의 최적 운반 문제에서 일반화된 스펜스-미르리즈 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 어떤 대칭 모델(예: 블랙-숄즈, 상관 없는 확률적 볼라티리티)에서 수단의 변화 변환이 불변인가?

주요 결과

• 수단의 변화는 제1형과 제2형 프론트 스타트 스트래들 간의 교환을 유도하며, Hobson-Klimmek 구성에서 이 둘에 대해 동일한 최적 운반 계획을 초래한다.
• 수단의 불변성 덕분에 두 스트래들 유형 모두 동일한 이행 계획으로 최적의 하위복제 가격이 달성된다.
• 양의 마팅게일에 대해 수단의 변화 하에서 오른쪽 단조적 이행 계획은 왼쪽 단조적 계획의 거울 쌍이다.
• 일반화된 스펜스-미르리즈 조건은 수단의 변화에 대해 유지되며, 최적성의 일관성을 보장한다.
• 블랙-숄즈 및 상관 없는 확률적 볼라티리티와 같은 대칭 모델에서, 모멘탈과 최적 운반 계획은 수단의 변화에 대해 불변이다.
• 수치적 예시는 로그노멀 모멘탈의 경우 대칭성과 불변성을 확인하며, 이론적 프레임워크를 검증한다.