[논문 리뷰] Change point analysis of second order characteristics in non-stationary time series

Holger Dette, Weichi Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 32인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 비정상 시계열에서 분산과 지연-k 상관관계와 같은 이차 특성의 변화점 검출을 위한 CUSUM 기반의 변화점 검정법을 제안한다. 이는 귀무가설 하에서 전체 정상성의 엄격한 가정을 완화한다. 검정 통계량의 점근적 분포를 도출하고, 임계값을 위한 부트스트랩 방법을 개발하여 평균이나 고차모멘트가 일정하지 않을 경우에도 구조적 변화를 탐지할 수 있도록 한다. 중심 영국 기상자료에 적용한 결과, 19세기 후반에 겨울 기온 분산과 상관관계에 유의미한 변화점이 존재하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

A restrictive assumption in the work on testing for structural breaks in time series consists in the fact that the model is formulated such that the stochastic process under the null hypothesis of "no change-point" is stationary. This assumption is crucial to derive (asymptotic) critical values for the corresponding testing procedures using an elegant and powerful mathematical theory, but it might be not very realistic from a practical point of view. For example, if change point analysis for a particular parameter of the process (such as the variance) is performed, it is not necessary clear why other parameters (such as the mean or higher order moments) have to stay constant under the hypothesis that there is no change point in the parameter of interest. This paper develops change point analysis under less restrictive assumptions and deals with the problem of detecting change points in the marginal variance and correlation structures of a non-stationary time series. A CUSUM approach is proposed, which is used to test the "classical" hypothesis of the form H₀ : θ₁ = θ₂ vs. H₁ : θ₀ ≠ θ₂, where θ₁ and θ₂ denote second order parameters (such as the variance or the lag k-correlation) of the process before and after a change point. The asymptotic distribution of the CUSUM test statistic is derived under the null hypothesis. This distribution depends in a complicated way on the dependency structure of the nonlinear non-stationary time series and a bootstrap approach is developed to generate critical values. The results are then extended to test the hypothesis of a non relevant change point, i.e. H₀ : | θ₀ - θ₂ | ≤ δ , which reflects the fact that inference should not be changed, if the difference between the parameters before and after the change-point is small. In contrast to previous work, our approach does neither require the mean to be constant nor - in the case of testing for lag k-correlation - that the mean, variance and fourth order joint cumulants are constant under the null hypothesis. In particular, we allow that the variance has a change point at a different location than the auto-covariance. The results are illustrated by means of a simulation study, which shows that the new procedures have nice finite sample properties. The central England monthly temperature series are analyzed and significant change points in the variance and lag 1-correlation are found in the winter monthly temperature at the late 19th century.

연구 동기 및 목표

• 기존의 변화점 검정법이 귀무가설 하에서 전체 정상성을 가정한다는 한계를 해결하기 위해.
• 평균이나 고차모멘트가 일정하지 않아도 이차 구조(분산 및 지연-k 상관관계)의 변화를 탐지할 수 있는 방법을 개발하기 위해.
• 분산과 자기공분산의 변화점이 서로 다른 위치에 존재할 수 있도록 허용하여 현실적인 비정상성 행동을 반영하기 위해.
• 차이가 작은 임계값 δ 이내일 경우 실질적으로 동일한 파라미터 값을 갖는 비의미한 변화점(Non-relevant change points)을 검정할 수 있도록 프레임워크를 확장하기 위해.
• 유한표본 성능을 시뮬레이션과 실제 자료 분석을 통해 검증한 실용적이고 점근적으로 타당한 검정 절차를 제공하기 위해.

제안 방법

• 잠재적 변화점 이전과 이후의 이차 모수(예: 분산, 지연-k 상관관계)를 비교하기 위해 CUSUM 검정 통계량을 구성한다.
• 비선형 비정상 시계열의 복잡한 의존성 구조를 고려하여, 변화가 없는 귀무가설 하에서 CUSUM 통계량의 점근적 분포를 유도한다.
• 점근적 분포가 알려지지 않은 의존성 파라미터에 의존하고 분석적으로 다룰 수 없기 때문에, 임계값을 생성하기 위한 부트스트랩 절차를 개발한다.
• H₀: |θ₀ − θ₂| ≤ δ라는 가설을 통해 비의미한 변화점 검정으로 방법을 확장하여, 파라미터 차이가 미미한 수준일 경우 실질적 동등성을 검증할 수 있도록 한다.
• 특히 지연-k 상관관계를 검정할 경우에도 평균이 일정할 필요 없고, 분산이나 네 번째 순서 누적량이 유지되어야 할 필요가 없다.
• 시뮬레이션 연구를 통해 방법을 검증하고, 중심 영국 월기온 시계열에 적용하여 겨울 기온 분산과 지연-1 상관관계의 변화점을 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 귀무가설 하에서 평균이 일정하지 않아도 이차 특성의 변화점 탐지가 가능한가?
• RQ2 비선형 비정상 시계열의 복잡한 의존성 구조를 고려할 때 CUSUM 검정 통계량의 점근적 분포는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 점근적 분포가 분석적으로 다룰 수 없을 경우, 정확한 임계값을 생성하는 부트스트랩 방법은 무엇인가?
• RQ4 분산과 자기공분산의 변화점이 서로 다른 위치에 존재할 경우에도 이 프레임워크는 변화점을 탐지할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 특히 비의미한 변화점 탐지에 대해 충분히 강건하고 효과적인가, 특히 유한표본에서의 성능은 어떻게 되는가?

주요 결과

• CUSUM 검정 통계량의 점근적 분포는 시계열의 의존성 구조에 따라 달라지며, 간단한 닫힌 형태로 표현될 수 없다.
• 부트스트랩 방법은 비정상 조건 하에서도 타당한 추론을 가능하게 하기 위해 검정 통계량의 임계값을 성공적으로 생성하였다.
• 시뮬레이션 연구를 통해 제안된 절차가 올바른 크기와 합리적인 검정력의 좋은 유한표본 성질을 보임을 확인하였다.
• 중앙 영국 월기온 시계열 분석 결과, 19세기 후반에 겨울 기온 분산과 지연-1 상관관계에 유의미한 변화점이 존재하는 것으로 나타났다.
• 평균이 일정하지 않은 경우에도 이차 구조의 구조적 변화를 탐지할 수 있어, 현실적인 비정상성에 대해 강건함을 입증하였다.
• 비의미한 변화점으로의 확장은 파라미터 차이가 미미한 임계값 δ 이내일 경우를 검정함으로써 실질적인 추론을 가능하게 하였다.