[논문 리뷰] Chaos and Scaling in Classical Non-Abelian Gauge Fields

H. B. Nielsen, Hans Henrik Rugh외 1명|ArXiv.org|1996. 05. 24.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고전적 비아벨 게이지 장 이론을 레이티스로 정규화한 양-밀스 이론을 사용하여 고전적 비아벨 게이지 장에서의 혼돈과 척도를 조사한다. 이는 에르고딕 측도와 동적 평균을 정의하기 위해 사용되며, 에너지에 대한 주요 리아푸노프 지수의 선형 척도($β = 1$)에 널리 인용된 주장에 도전한다. 고에너지에서 $β \leq 0$임을 엄밀한 상한을 증명함으로써, 저에너지에서는 $β \sim 1/4$임을 시사하며, 이는 저에너지 영역이 연속체 근사에 가장 가까움을 나타낸다.

ABSTRACT

Without an ultraviolet cut-off, the time evolution of the classical Yang-Mills equations give rise to a never ending cascading of the modes towards the ultraviolet, and ergodic measures and dynamical averages, such as the spectrum of characteristic Lyapunov exponents (measures of temporal chaos) or spatial correlation functions, are ill defined. A lattice regularization (in space) provides an ultraviolet cut-off of the classical Yang-Mills theory, giving a possibility for the existence of ergodic measures and dynamical averages. We analyze in this investigation in particular the scaling behavior $β= d \log λ/ d \log E $ of the principal Lyapunov exponent with the energy of the lattice system. A large body of recent literature claims a linear scaling relationship ($β= 1$) between the principal Lyapunov exponent and the average energy per lattice plaquette for the continuum limit of the lattice Yang-Mills equations. We question this result by providing rigorous upper bounds on the Lyapunov exponent for all energies, hence giving a non-positive exponent, $β\leq 0$, asymptotically for high energies, and we give plausible arguments for a scaling exponent close to $β\sim 1/4$ for low energies. We argue that the region of low energy is the region which comes closest to what could be termed a ``continuum limit'' for the classical lattice system.

연구 동기 및 목표

• 고전적 양-밀스 이론에서 자르기 없는 고에너지 발산(UV 발산)으로 인해 리아푸노프 지수와 같은 동적 평균이 잘 정의되지 않는 문제를 다루기 위해.
• 공간 레이티스 정규화를 통해 잘 정의된 에르고딕 측도와 동적 평균의 프레임워크를 수립하기 위해.
• 연속체 근사에서 에너지에 대한 주요 리아푸노프 지수의 선형 척도($\\beta = 1$)로 주장된 바를 재검토하기 위해.
• 주요 리아푸노프 지수 $λ$에 대한 척도 지수 $β = d \log \lambda / d \log E$가 에너지 영역 전반에 걸쳐 어떻게 작용하는지 규명하기 위해.
• 고전적 레이티스 시스템의 연속체 근사에 가장 가까운 에너지 영역을 특정하기 위해.

제안 방법

• 고전적 양-밀스 이론에 레이티스 정규화를 적용하여 고에너지 발산(UV) 절단을 도입함으로써, 잘 정의된 에르고딕 측도와 동적 평균을 가능하게 한다.
• 동역학계 이론의 분석 기법을 사용하여 에너지 $E$에 대한 주요 리아푸노프 지수 $λ$에 대한 엄밀한 상한을 유도한다.
• 다양한 에너지 영역에서 척도 행동 $\beta = d \log \lambda / d \log E$를 분석한다.
• 수치적 및 분석적 논증을 사용하여 문헌에서 주장된 $\beta = 1$ 척도 주장의 타당성을 평가한다.
• 물리적 및 수학적 일관성에 기반하여, 연속체 근사에 가장 가까운 영역으로 저에너지 행동에 집중한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 레이티스 양-밀스 이론의 연속체 근사에서 주요 리아푸노프 지수는 에너지에 대해 선형으로 척도가 맞는가($\beta = 1$)?
• RQ2 레이티스 정규화 시스템에서 모든 에너지에 대해 리아푸노프 지수에 대한 엄밀한 상한은 무엇인가?
• RQ3 고에너지에서 척도 지수 $\beta$는 점 渐진적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ4 저에너지 영역에서 척도 지수 $\beta$의 정확한 값은 무엇이며, 왜 이 영역이 연속체 근사에 가장 가까운가?
• RQ5 연속체 이론에서 고에너지 절단이 없는 상황에서 주장된 $\beta = 1$ 척도는 어떻게 일치시킬 수 있는가?

주요 결과

• 주요 리아푸노프 지수 $\lambda$는 엄밀한 상한을 통해 $\beta \leq 0$임을 보이며, 이는 널리 받아들여진 $\beta = 1$ 척도와 정면으로 배치된다.
• 고에너지에서는 척도 지수가 점 渐진적으로 $\beta \leq 0$를 만족함을 나타내어, 이전에 주장된 것처럼 리아푸노프 지수가 에너지에 따라 증가하지 않음을 시사한다.
• 저에너지에서는 $\beta \sim 1/4$에 가까운 척도 지수에 대한 설득력 있는 논거를 제시하며, 혼돈이 에너지에 대해 비선형적으로 증가함을 시사한다.
• 저에너지 영역은 고전적 양-밀스 이론의 연속체 근사에 가장 물리적으로 관련된 영역으로 특정된다.
• 결과는 $\beta = 1$ 척도 주장의 타당성을 도전하며, 이전 분석이 레이티스 형태에서의 고에너지 절단 효과를 간과했을 가능성을 시사한다.