[논문 리뷰] Chaotic and Predictable Representations for Multidimensional Lévy Processes

Jianzhong Lin|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 01.

Probability and Risk Models참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보상된 고위상 점프 과정의 그람-슈미트 수직화를 통해 정규화된 다차원 투겔스 마르팅게일을 구성함으로써 다차원 레비 과정에 대한 혼돈 표현 성질을 확립한다. 주요 기여는 이러한 정규화된 마르팅게일에 대한 정사직교 합으로 제곱-integrable 랜덤 변수의 혼돈 전개를 제공하는 것으로, 이로부터 예측 가능한 표현 성질이 직접 도출되며, 레비 측도에 대한 모멘트 및 라플라스 변환 조건 하에서 단변량 결과를 다변량 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

For a general Multidimensional Lévy process (satisfying some moment conditions), we introduce the Multidimensional power jump processes and the related Multidimensional Teugels martingales. Furthermore, we orthogonalize the Multidimensional Teugels martingales by applying Gram-Schmidt process. We give a chaotic representation for every square integral random variable in terms of these orthogonalized Multidimensional Teugels martingales. The predictable representation with respect to the same set of Multidimensional orthogonalized martingales of square integrable random variables and of square integrable martingales is an easy consequence of the chaotic representation.

연구 동기 및 목표

• 단변량에서 다변량 레비 과정으로 혼돈 표현 성질(CRP)을 확장하는 것.
• 다차원 레비 과정의 보상된 고위상 점프 과정에 기반한 적절한 정규화된 마르팅게일 수열을 구성하는 것.
• 이 정규화된 마르팅게일을 사용하여 제곱-integrable 랜덤 변수의 혼돈 표현을 수립하는 것.
• 동일한 정규화된 마르팅게일에 대한 혼돈 표현의 직접 결과로서 예측 가능한 표현 성질을 도출하는 것.
• 다차원 마이크스너 과정을 포함한 명시적 예시를 제시하여 프레임워크를 설명하는 것.

제안 방법

• 레비 과정의 점프 크기의 $d$-승의 증분으로서 다차원 고위상 점프 과정을 정의한다.
• 예측 가능한 보정항을 빼어 국소 마르팅게일을 형성하기 위해 보상된 고위상 점프 과정을 구성한다.
• 유도된 다차원 투겔스 마르팅게일을 수직화하기 위해 그람-슈미트 과정을 적용한다.
• 다항식 수열과 보상된 고위상 점프 과정 사이의 등장성(이소메트리)을 이용하여 수직화 과정을 다변량 마이크스너 다항식과 연결한다.
• 임의의 제곱-integrable 랜덤 변수를 정규화된 마르팅게일에 대한 다중 스토케스틱 적분의 정사직교 합으로 표현함으로써 혼돈 전개를 수립한다.
• 동일한 정규화된 마르팅게일에 대한 혼돈 표현의 직접 결과로서 예측 가능한 표현 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈 표현 성질은 단변량에서 다변량 레비 과정으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 다차원 레비 과정의 보상된 고위상 점프 과정으로부터 정규화된 마르팅게일 수열을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 정규화된 투겔스 마르팅게일과 마이크스너 다항식과 같은 다변량 정규직교 다항식 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 다차원 경우에서 혼돈 전개가 성립하기 위한 레비 측도에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ5 다변량 설정에서 예측 가능한 표현 성질은 혼돈 표현으로부터 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 레비 측도가 원점 외부에서 유한한 라플라스 변환을 가지는 조건 하에서, 다차원 레비 과정에 대해 혼돈 표현 성질이 성립한다.
• 정규화된 다차원 투겔스 마르팅게일은 제곱-integrable 랜덤 변수의 혼돈 전개에 대한 완전한 정사직교 기저를 이룬다.
• 동일한 정규화된 마르팅게일에 대한 혼돈 표현으로부터 제곱-integrable 마르팅게일과 랜덤 변수에 대한 예측 가능한 표현 성질가 직접 도출된다.
• 그람-슈미트 과정을 통한 정규화된 마르팅게일의 구성은 수직성을 보장하고 명시적 혼돈 전개를 가능하게 한다.
• 다차원 마이크스너 과정의 경우, 투겔스 마르팅게일의 수직화는 다항식 공간과의 등장성으로 인해 다변량 마이크스너 다항식에 대응한다.
• 이 프레임워크는 정규화된 점프 기반 마르팅게일에 대한 다중 스토케스틱 적분을 통해 랜덤 변수와 마르팅게일을 체계적으로 표현하는 방법을 제공한다.