[논문 리뷰] Chaotic Hedging with Iterated Integrals and Neural Networks

Ariel Neufeld, Philipp Schmocker|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 21.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 드리프트 및 분산 계수를 가진 확산 과정의 반복 적분 전개를 통해 임의의 $L^p$-적분 가능한 금융 파생상품을 표현하는 새로운 '혼돈 헤징' 프레임워크를 제안한다. 기계학습 환경에서 랜덤 신경망을 통해 적분된 함수를 학습함으로써, 임의의 $L^p$-정확도로 효율적이고 폐형으로 계산 가능한 헤징 전략을 가능하게 하여, 불완전 시장에서 파생상품 가격 책정과 헤징을 위한 빠르고 확장 가능한 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive an $L^p$-chaos expansion based on iterated Stratonovich integrals with respect to a given exponentially integrable continuous semimartingale. By omitting the orthogonality of the expansion, we show that every $p$-integrable functional, $p \in [1,\infty)$, can be approximated by a finite sum of iterated Stratonovich integrals. Using (possibly random) neural networks as integrands, we therefere obtain universal approximation results for $p$-integrable financial derivatives in the $L^p$-sense. Moreover, we can approximately solve the $L^p$-hedging problem (coinciding for $p = 2$ with the quadratic hedging problem), where the approximating hedging strategy can be computed in closed form within short runtime.

연구 동기 및 목표

• 선형 드리프트 및 분산 계수를 가진 일반적인 확산 과정으로 위너-아이토 혼돈 분해를 확장하기.
• 자르기된 반복 적분 전개와 랜덤 신경망을 활용한 금융 파생상품에 대한 보편적 근사 방법 개발하기.
• 불완전 시장에서 임의의 $L^p$-적분 가능한 파생상품에 대해 계산 효율적이고 폐형의 헤징 전략 제공하기.
• 혼돈 전개와 신경망 학습을 통한 근사의 $L^p$-수렴에 대한 이론적 기반 구축하기.
• 스토크라스틱 분석과 기계학습을 융합하여 강력한 파생상품 복제 및 헤징의 실현 가능성 입증하기.

제안 방법

• 논문은 시간-공간 조화 에르미트 다항식을 사용하여 비수직인 혼돈 전개를 구성하여, 선형 드리프트 및 분산 계수를 가진 확산 과정의 $L^p$-적분 가능한 함수를 반복 적분의 합으로 표현한다.
• 무한한 혼돈 전개를 순서 $N$ 이하의 반복 적분의 유한 합으로 자르며, $L^p$-근사 오차가 $\varepsilon$ 이하가 되도록 보장한다.
• 반복 적분 내의 결정론적 적분된 함수는 학습 가능한 매개변수를 가진 랜덤 신경망 ($\varphi_n$)으로 대체되어, 매개변수적 근사를 가능하게 한다.
• 기계학습 환경에서 제곱 손실 함수를 최소화함으로써 신경망의 매개변수를 학습시키며, 이는 $L^p$-수렴을 보장한다.
• 혼돈 전개의 구조와 에르미트 다항식, 제곱 변동성을 활용하여 이토의 공식과 마틴갈 representation을 적용해 근사된 파생상품의 헤징 전략을 폐형으로 유도한다.
• 스토크라스틱 적분의 $L^p$-폐쇄성과 랜덤 신경망의 $L^{np}$-노름에서의 보편 근사 정리에 기반해 방법을 이론적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비퇴도성, 선형 성장 드리프트 및 분산 계수를 가진 확산 과정으로 위너-아이토 혼돈 분해를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 모든 $L^p$-적분 가능한 확산 과정 기반 함수는 수직성 조건 없이 반복 적분의 합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 랜덤 신경망은 $L^p$-정확도로 반복 적분 전개 내의 적분된 함수를 보편적으로 근사할 수 있는가?
• RQ4 결과적으로 얻어진 근사된 파생상품은 혼돈 전개로부터 유도된 폐형 전략으로 헤징될 수 있는가?
• RQ5 적분된 함수의 기계학습 기반 근사는 진짜 파생상품 수익으로의 $L^p$-수렴을 이끌 수 있는가?

주요 결과

• 선형 드리프트 및 분산 계수를 가진 확산 과정의 모든 $L^p$-적분 가능한 함수는 반복 적분의 합으로 표현될 수 있으며, 이는 고전적 위너-아이토 혼돈 분해를 브라운 운동을 초월해 확장한다.
• 제안된 혼돈 전개는 수직이 아니지만, 자르기만으로도 임의의 정밀도로 이러한 함수의 $L^p$-근사를 가능하게 한다.
• 랜덤 신경망은 $L^{np}$-노름에서 혼돈 전개 내의 적분된 함수를 보편적으로 근사할 수 있으며, 이는 전체 근사의 $L^p$-수렴을 보장한다.
• 근사된 파생상품의 헤징 전략은 폐형으로 계산 가능하며, 이는 스토크라스틱 적분 과정의 에르미트 다항식에 이토의 공식을 적용함으로써 도출된다.
• 혼돈 전개의 자르기와 적분된 함수의 신경망 근사를 조합하여 $L^p$-오차를 $\varepsilon$ 이하로 유지할 수 있다.
• 이 프레임워크는 수렴이 보장되는 빠르고 확장 가능하며 수치적으로 효율적인 불완전 시장에서의 금융 파생상품 복제를 가능하게 한다.