[논문 리뷰] Chapman-Enskog Analysis of Finite Volume Lattice Boltzmann Schemes

Nima H. Siboni, Dierk Raabe외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 20.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 48인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유한체적 라티스 보르츠만 방법에 대한 체계적인 찰프먼-언스코 분석을 제시하며, 다양한 유량 평가 방법에 대해 라티스 보르츠만의 비례 시간 τ와 유체의 운동 viscoity 사이의 관계를 유도한다. 이는 상수 상류화 방법이 인위적인 수치 점성도를 도입하는 반면, 중심 및 선형 상류화 방법은 이러한 오류를 피함으로써 일관된 점성 스케일링을 갖는 나비에-스토크스 방정식을 정확히 복원할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we provide a systematic analysis of some finite volume lattice Boltzmann schemes in two dimensions. A complete iteration cycle in time evolution of discretized distribution functions is formally divided into collision and propagation (streaming) steps. Considering mass and momentum conserving properties of the collision step, it becomes obvious that changes in the momentum of finite volume cells is just due to the propagation step. Details of the propagation step are discussed for different approximate schemes for the evaluation of fluxes at the boundaries of the finite volume cells. Moreover, a full Chapman-Enskog analysis is conducted allowing to recover the Navier-Stokes equation. As an important result of this analysis, the relation between the lattice Boltzmann relaxation time and the kinematic viscosity of the fluid is derived for each approximate flux evaluation scheme. In particular, it is found that the constant upwind scheme leads to a positive numerical viscosity while the central scheme as well as the linear upwind scheme are free of this artifact.

연구 동기 및 목표

• 광범위하게 사용되지만 종합적인 이론적 분석이 부족한 유한체적 라티스 보르츠만 방법에 대한 체계적인 분석 프레임워크를 제공하는 것.
• 유한체적 LBM에서 다양한 유량 평가 방법이 매크로스코픽 유체 거동, 특히 점성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 찰프먼-언스코 전개를 사용하여 다양한 방법에 대해 라티스 보르츠만의 비례 시간 τ에 따른 효과적 운동 점성도를 유도하는 것.
• 상류화 유형의 방법에서 발생하는 수치 점성도의 기원을 명확히 하고 물리적 점성도와 구분하는 것.
• 다중 척도 점근 분석 하에서 유한체적 LBM이 나비에-스토크스 방정식과 일관성을 유지하는지 검증하는 것.

제안 방법

• 분포 함수의 시간 진화는 충돌 및 전파(유동) 단계로 분해되며, 충돌 단계에서 질량 및 운동량 보존 조건이 적용된다.
• 유한체적 격자 요소는 격자 노드 중심에 정의되며, 유량은 중심, 선형 상류화, 상수 상류화 등의 다양한 근사 방법을 사용해 세포 경계에서 계산된다.
• 다중 척도 찰프먼-언스코 전개가 적용되며, 작은 매개변수 ε을 도입해 빠른(충돌) 및 느린(매크로스코픽) 시간 척도를 분리한다.
• 분포 함수는 F_i = F_i^0 + εF_i^1 + ε²F_i^2 + ... 로 전개되며, ε에 대해 순서별로 방정식을 풀어 매크로스코픽 방정식을 도출한다.
• 비압축성 근사에서 나비에-스토크스 방정식이 회복되며, 점성 항은 전개의 2차 기여에서 유도된다.
• 유도된 점성 항을 표준 나비에-스토크스 형태와 비교하여 효과적 점성도를 계산함으로써, 각 방법에 대해 τ와 μ 사이의 명시적 관계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체적 라티스 보르츠만 방법에서 다양한 유량 평가 방법이 시뮬레이션 유체의 효과적 점성도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 유한체적 방법에서 라티스 보르츠만의 비례 시간 τ와 운동 점성도 ν 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 왜 상수 상류화 방법은 중심 또는 선형 상류화 방법과 달리 추가적인 수치 점성도를 도입하는가?
• RQ4 찰프먼-언스코 분석은 비균일한 유량 근사가 적용된 유한체적 LBM에 대해 나비에-스토크스 방정식을 일관되게 복원할 수 있는가?
• RQ5 상수 상류화 방법에서 추가적인 점성 항의 기원은 무엇이며, 이는 물리적 점성도를 어떻게 수정하는가?

주요 결과

• 상수 상류화 방법은 1/2 비례하는 추가적인 수치 점성도 항을 도입하여 효과적 점성도 μ = ρc_s²(τ + 1/2)를 만들어내며, 이는 물리적 점성도를 초과한다.
• 중심 및 선형 상류화 방법은 이러한 부당한 점성도를 도입하지 않아 물리적 점성도 μ = ρc_s²τ를 깔끔하게 복원한다.
• 2차 찰프먼-언스코 전개에 따르면 중심 및 선형 상류화 방법의 점성 항은 충돌 및 전파 기여에서 기인하며, 표준 나비에-스토크스 형태와 일관된다.
• 상수 상류화 방법의 점성 항은 특히 ∂²F₀/∂x² 및 ∂²F₀/∂y² 기여에서 기인하는 유량 근사의 2차 항에 기인한다.
• 분석은 중심 및 선형 상류화 방법이 인위적인 수치 점성도 없이 자유로우므로 물리적 유체 역학 시뮬레이션에 더 정확하다는 것을 확인한다.
• 유도 과정은 각 유량 평가 방법에 대해 라티스 보르츠만의 비례 시간 τ와 운동 점성도 ν 사이에 명확한 분석적 연결을 수립하며, 적절한 매개변수 캘리브레이션을 가능하게 한다.