[논문 리뷰] Characterisations of crossed products by partial actions

John Quigg, Iain Raeburn|ArXiv.org|1996. 04. 03.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 이중 코작용의 스펙트럴 부분공간을 사용하여 이산군의 부분 작용에 의한 축소된 교차곱을 특성화하며, Exel의 단일 부분자기동형사상에 대한 결과를 일반화한다. 주요 기여는 자유군 $\mathbb{F}_n$의 부분 작용에 의한 교차곱으로서 쿤츠 대수, 쿤츠-크리거 대수, 니카의 토플리츠 대수를 식별하는 구조적 특성화로, 이는 이중이중에서 정의된 부분 표현을 통해 스펙트럴 부분공간 간의 동형사상을 실현한다.

ABSTRACT

Partial actions of discrete groups on $C^*$-algebras and the associated crossed products have been studied by Exel and McClanahan. We characterise these crossed products in terms of the spectral subspaces of the dual coaction, generalising and simplifying a theorem of Exel for single partial automorphisms. We then use this characterisation to identify the Cuntz algebras and the Toeplitz algebras of Nica as crossed products by partial actions.

연구 동기 및 목표

• 이산군의 부분 작용에 의한 축소된 교차곱을 이중 코작용과 스펙트럴 부분공간을 사용하여 특성화하는 것.
• Exel의 단일 부분자기동형사상에 의한 교차곱의 특성화를 일반 이산군으로 일반화하는 것.
• 쿤츠 대수 $\mathcal{O}_n$, 쿤츠-크리거 대수 $\mathcal{O}_A$, 니카의 토플리츠 대수를 자유군 $\mathbb{F}_n$의 부분 작용에 의한 교차곱으로 식별하는 것.
• 자연스러운 $\mathbb{F}_n$의 코작용을 수립하고 기존의 $C^*$-대수적 구조와 연관짓는 것.

제안 방법

• 이중이중 $B^{**}$ 내의 유일한 공변 표현을 생성하는 $C^*$-대수로 교차곱 $A \times_\alpha G$를 구성하여, 군 $G$에 대한 이중 코작용 $\delta$를 확보한다.
• 불변 이중모듈러스의 승수에 의해 실현되는 스펙트럴 부분공간의 힐버트 모듈러스 동형사상을 사용하여, $B^{**}$ 내의 군 $G$에 대한 부분 표현 $m$을 정의한다.
• 코작용 $\delta$의 스펙트럴 부분공간 간의 동형사상을 유도하는 조건을 만족하는 부분 표현 $m$의 존재를 통해 축소된 교차곱을 특성화한다. 이 조건은 $m_s m_t \preceq m_{st}$ 를 만족하며, 스펙트럴 부분공간 간의 동형사상을 유도한다.
• 자유군 $\mathbb{F}_n$에 적용하여, 생성자에 대응하는 $n$개의 부분자기동형사상으로 결정되는 부분 작용을 다룬다.
• 스펙트럴 부분공간 $B_s$ 를 위너-호프 대수의 구조를 통해 식별하여, $s \in PP^{-1}$ 에 대해 $B_s = W_{\sigma(s)} \mathcal{D} W^*_{\tau(s)}$ 임을 보인다.
• 지정된 조건을 만족하는 부분 표현 $m_s = W_{\sigma(s)} W^*_{\tau(s)}$ 가 $s \in PP^{-1}$ 에 대해 정의됨을 검증하고, 필요한 공리와 스펙트럴 부분공간 간의 동형사상을 유도함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산군의 부분 작용에 의한 축소된 교차곱은 이중 코작용과 스펙트럴 부분공간을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 Exel의 단일 부분자기동형사상에 의한 교차곱의 특성화는 임의의 이산군으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 쿤츠 대수 $\mathcal{O}_n$ 과 쿤츠-크리거 대수 $\mathcal{O}_A$ 는 자유군 $\mathbb{F}_n$ 의 부분 작용에 의한 교차곱으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 니카의 토플리츠 대수는 동일한 특성화를 통해 부분 작용에 의한 교차곱으로 식별될 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 $\mathcal{O}_n$ 에 대한 자연스러운 $\mathbb{F}_n$ 코작용의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 축소된 교차곱 $A \times_{\alpha,r} G$ 는 군 $G$ 에 대한 코작용 $\delta$ 와 $B^{**}$ 내의 부분 표현 $m$ 을 지닌 $C^*$-대수 $B$ 로 특성화되며, 이때 $m_s$ 는 스펙트럴 부분공간 $B_s$ 와 $B_{s^{-1}}$ 간의 동형사상을 유도하고, $m_s m_t \preceq m_{st}$ 를 만족한다.
• 자유군 $\mathbb{F}_n$ 에서는 생성자에 대응하는 스펙트럴 부분공간에 의해 다항 부분작용에 의한 교차곱이 특성화된다.
• 쿤츠 대수 $\mathcal{O}_n$ 은 $\mathbb{F}_n$ 의 부분 작용에 의한 교차곱으로 실현되며, $\mathcal{O}_n$ 에 대한 자연스러운 코작용이 중심적인 역할을 한다.
• 쿤츠-크리거 대수 $\mathcal{O}_A$ 는 동일한 특성화 프레임워크를 통해 $\mathbb{F}_n$ 의 부분 작용에 의한 교차곱으로 식별된다.
• 준격자순서군 $(G,P)$ 에 대해 정의된 니카의 토플리츠 대수 $\mathcal{W}(G,P)$ 는 대각선 부분대수 $\mathcal{D}$ 에 대한 자연스러운 부분 작용 $\alpha$ 에 의한 축소된 교차곱 $\mathcal{D} \times_{\alpha,r} G$ 와 동형이다.
• 위너-호프 표현은 $\mathcal{W}(G,P)$ 와 유니버설 $C^*$-대수 $C^*(G,P)$ 간의 동형사상을 유도하며, 이는 $\mathcal{W}(G,P)$ 가 부분 작용에 의한 교차곱임을 뒷받침한다.