[논문 리뷰] Characteristic matrix of covering and its application to boolean matrix decomposition and axiomatization

Shiping Wang, Qingxin Zhu외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 02.

Rough Sets and Fuzzy Logic참고 문헌 27인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 커버링을 표현하기 위해 두 종류의 특성 행렬을 도입하여 부울 행렬을 통해 세 종류의 커버링 근사 연산자를 나타낸다. 부울 행렬을 다른 행렬과 그 전치행렬의 부울 곱으로 분해할 수 있는 충분하고 필수적인 조건을 수립함으로써, 알고리즘 구현이 가능한 새로운 행렬 기반의 커버링 기반 흐림집합의 공리체계를 제안한다.

ABSTRACT

Covering is an important type of data structure while covering-based rough sets provide an efficient and systematic theory to deal with covering data. In this paper, we use boolean matrices to represent and axiomatize three types of covering approximation operators. First, we define two types of characteristic matrices of a covering which are essentially square boolean ones, and their properties are studied. Through the characteristic matrices, three important types of covering approximation operators are concisely equivalently represented. Second, matrix representations of covering approximation operators are used in boolean matrix decomposition. We provide a sufficient and necessary condition for a square boolean matrix to decompose into the boolean product of another one and its transpose. And we develop an algorithm for this boolean matrix decomposition. Finally, based on the above results, these three types of covering approximation operators are axiomatized using boolean matrices. In a word, this work borrows extensively from boolean matrices and present a new view to study covering-based rough sets.

연구 동기 및 목표

• 커버링 기반 흐림집합 이론과 부울 행렬 분해를 연결하기 위해 특성 행렬을 도입함.
• 부울 행렬을 사용하여 세 종류의 커버링 근사 연산자(두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째)의 행렬 기반 표현을 제공함.
• 정사각 부울 행렬 A가 행렬 B와 그 전치행렬 B^T의 부울 곱으로 분해될 수 있는 충분하고 필수적인 조건을 유도함.
• 유도된 조건에 기반하여 부울 행렬 분해를 계산하는 알고리즘을 개발함.
• 부울 행렬 성질을 이용하여 세 종류의 커버링 근사 연산자를 공리체계화함.

제안 방법

• 커버링 C로부터 두 종류의 특성 행렬(M_C와 Gamma(C))을 정의하여 커버링 근사 연산자를 표현함.
• 특성 행렬을 사용하여 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 상하 근사 연산자를 부울 행렬 연산으로 표현함.
• 정사각 부울 행렬 A가 B · B^T로 분해될 수 있는 충분하고 필수적인 조건을 수립함. 이 조건은 A^T = A 이고, 모든 i에 대해 A_ii = 1 이어야 함.
• A = B · B^T 를 만족하는 최소 부울 행렬 B를 찾는 방식으로 분해를 계산하는 알고리즘을 설계함.
• 행렬 분해 조건을 활용하여 세 종류의 근사 연산자를 부울 행렬 성질을 통해 공리체계화함.
• 관계 행렬 대응 관계를 활용: 두 번째 연산자는 반사적이고 대칭적인 관계, 다섯 번째와 여섯 번째 연산자는 반사적이고 추이적인 관계.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 행렬을 통해 커버링 근사 연산자를 부울 행렬로 등가적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 정사각 부울 행렬이 행렬과 그 전치행렬의 부울 곱으로 분해될 수 있는 충분하고 필수적인 조건은 무엇인가?
• RQ3 이러한 분해를 계산하는 알고리즘은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 세 종류의 커버링 근사 연산자는 부울 행렬 분해를 통해 공리체계화할 수 있는가?
• RQ5 커버링 기반 흐림집합과 행렬 표현을 통한 일반화된 관계 기반 흐림집합 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 두 번째 상근사 연산자 SH_C 는 모든 i에 대해 A^T = A 이고 A_ii = 1 인 부울 행렬 A 와 등가이다.
• 다섯 번째 상근사 연산자 IH_C 는 A^2 = A 이고 모든 i에 대해 A_ii = 1 인 부울 행렬 A 와 대응된다.
• 여섯 번째 상근사 연산자 XH_C 는 B^2 = B 이고 모든 i에 대해 B_ii = 1 인 부울 행렬 A = B · B^T 로 특징지어진다.
• 부울 행렬 분해 A = B · B^T 가 가능한 충분하고 필수적인 조건은 A 가 대칭이면서 모든 대각성분이 1임을 요구한다.
• 분해 알고리즘은 A = B · B^T 를 만족하는 최소 부울 행렬 B 를 찾는 방식으로 구성되어 있어 정확성과 완전성을 보장한다.
• 세 근사 연산자의 공리체계화는 부울 행렬 성질을 통해 이루어지며, 반사적이고 대칭적이거나 반사적이고 추이적인 관계와 연결된다.