[논문 리뷰] Characteristic polynomials of modified permutation matrices at microscopic scale

Valentin Bahier|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 31.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 순열 행렬 및 그 변형에 대해 특성 다항식의 미시적 척도 극한을 연구한다. 여기서 1-성분은 단위 원 위의 i.i.d. 균일 변수로 대체된다. Ewens 측도와 적절한 정규화 하에서, 스케일링된 특성 다항식은 거의 확실히 명시적인 전함수로 수렴하며, 원형 유니터리 군열(Circular Unitary Ensemble)의 결과를 순열 기반 랜덤 행렬으로 확장한다. 가상 등장사상에 기반한 커플링 방법을 사용한다.

ABSTRACT

We study the characteristic polynomial of random permutation matrices following some measures which are invariant by conjugation, including Ewens' measures which are one-parameter deformations of the uniform distribution on the permutation group. We also look at some modifications of permutation matrices where the entries equal to one are replaced by i.i.d uniform variables on the unit circle. Once appropriately normalized and scaled, we show that the characteristic polynomial converges in distribution on every compact subset of $\\mathbb{C}$ to an explicit limiting entire function, when the size of the matrices goes to infinity. Our findings can be related to results by Chhaibi, Najnudel and Nikeghbali on the limiting characteristic polynomial of the Circular Unitary Ensemble.

연구 동기 및 목표

• 공역 불변 측도, 특히 Ewens 측도 하에서 랜덤 순열 행렬의 특성 다항식의 渐近적 행동을 분석한다.
• 원형 유니터리 군열(Circular Unitary Ensemble)의 결과를 순열 행렬으로 확장하기 위해 특성 다항식의 미시적 척도를 연구한다.
• 가상 등장사상에 기반한 새로운 커플링 방법을 사용해 스케일링된 특성 다항식이 한정된 전함수로 거의 확실히 수렴함을 확립한다.
• 1 대신 단위 원 위의 i.i.d. 균일 변수를 갖는 수정된 순열 행렬으로 제한 행동을 일반화한다.
• 순열의 순환 길이와 단위 원 위의 균일 랜덤 변수로 표현된 제한 전함수의 성장 및 해석적 성질을 특성화한다.

제안 방법

• 단위 원 위의 i.i.d. 균일 변수를 사용해 가상 순열 및 수정된 순열의 수열을 생성하는 커플링 방법을 도입한다.
• 컴act 집합에 대해 $ z \to \mathbb{C} $ 이며 $ \beta $ 가 무리수일 때, 스케일링된 특성 다항식 $ \tilde{\theta}_n(z) = \frac{\tilde{Z}_n(e^{2i\tau z/n})}{\tilde{Z}_n(1)} $ 과 $ \theta_{n,\beta}(z) = \frac{Z_n(e^{2i\tau(z/n + \beta)})}{Z_n(e^{2i\tau\beta})} $ 를 정의한다.
• 정규화된 순환 길이 $ y_j^{(n)} $ 과 i.i.d. 단위 원 변수 $ u_j $ 를 사용해 스케일링된 다항식을 표현하여 $ \tilde{\theta}_n(z) = \textstyle\bigprod_{j: \text{순환 길이 } \ne 0} \frac{e^{2i\tau z y_j^{(n)}} - u_j}{1 - u_j} $ 를 도출한다.
• 정규화된 순환 길이의 수렴성과 가상 등장사상의 커플링을 통해 거의 확실한 수렴을 달성한다.
• 중간 편차 추정과 제한 함수의 영점 $ w_k $ 에 대한 곱 추정을 적용하여 성장성과 해석성을 제어한다.
• 제한 함수의 성장에 대한 유계성을 $ |\tilde{\theta}_\ty{infty}(z)| \tle \text{e}^{C|z|\text{log}(2+|z|)} $ 과 유사한 형태로 확립한다. $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) $ 에 대해서도 동일한 형태의 유계성을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ewens 측도 하에서 랜덤 순열 행렬의 특성 다항식은 미시 척도에서 제한 전함수로 수렴하는가?
• RQ2 순열 행렬의 1-성분을 단위 원 위의 i.i.d. 균일 변수로 대체할 경우 특성 다항식의 척도 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 가상 등장사상에 기반한 커플링 방법이 스케일링된 특성 다항식의 거의 확실한 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ4 스케일링된 특성 다항식에서 유도된 제한 전함수의 성장 및 해석적 성질은 무엇인가?
• RQ5 스케일링 $ z/n + \beta $ 에서의 무리수 매개변수 $ \beta $ 는 제한 행동에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 스케일링된 특성 다항식 $ \tilde{\theta}_n(z) $ 는 $ n \to \ty{infty} $ 일 때 거의 확실히 전함수 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) = \textstyle\bigprod_{j=1}^\ty{infty} \frac{e^{2i\tau z y_j} - u_j}{1 - u_j} $ 로 수렴한다. 여기서 $ (y_j) $ 는 정규화된 순환 길이이며 $ u_j $ 는 단위 원 위의 i.i.d. 균일 변수이다.
• 제한 함수 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ 는 어떤 랜덤 $ C > 0 $ 에 대해 거의 확실히 성장 유계성 $ |\tilde{\theta}_\ty{infty}(z)| \tle \text{e}^{C|z|\text{log}(2+|z|)} $ 를 만족한다.
• 표준 순열 행렬의 경우, 스케일링된 다항식 $ \theta_{n,\beta}(z) $ 는 거의 확실히 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) = \textstyle\bigprod_{j: \text{순환 길이 } \ne 0} \frac{e^{2i\tau(z/n + \beta)\tilde{\tau}_j} - 1}{e^{2i\tau\beta\tilde{\tau}_j} - 1} $ 로 수렴한다. 여기서 $ \beta $ 는 무리수이다.
• 제한 함수 $ \theta_{\ty{infty},\beta}(z) $ 는 모든 $ \ty{eps} > 0 $ 에 대해 $ |\theta_{\ty{infty},\beta}(z)| \tle C_\ty{\ty{eps}} \text{e}^{(\ty{eps} + 2\tau(y_0 + (1-y_0)t_\beta))|z|} $ 를 만족한다. 여기서 $ t_\beta = \frac{1}{2\text{sin}(\tau\beta)} $ 이다.
• 제한 함수의 영점 $ w_k $ 는 임의의 $ \ty{eps} > 0 $ 에 대해 거의 확실히 $ w_k = \frac{k}{1 - y_0} + \ty{O}(k^{1/2 + \ty{eps}}) $ 를 만족한다.
• 스케일링된 특성 다항식 $ \tilde{\theta}_n(z) $ 의 $ \tilde{\theta}_\ty{infty}(z) $ 로의 수렴은 $ \mathbb{C} $ 의 컴팩트 부분집합에서 법칙에 따라 성립하며, 커플링을 통해 거의 확실한 수렴을 보장하여 CUE 군열의 결과를 순열 기반 모델로 확장한다.