[논문 리뷰] Characterization and Classification of Fermionic Symmetry Enriched Topological Phases

David Aasen, Parsa Bonderson외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 22.

Topological Materials and Phenomena인용 수 33

한 줄 요약

본 논문은 Gf-crossed braided tensor categories를 사용하여 (2+1)D 페르미온 대칭이 풍부한 위상(FSET) 상의 프레임워크를 개발하고, on-site unitary fermionic symmetry Gf와 함께 대칭성 분수화 및 결함을 분류한다.

ABSTRACT

We examine the interplay of symmetry and topological order in $2+1$ dimensional fermionic topological phases of matter. We define fermionic topological symmetries acting on the emergent topological effective theory described using braided tensor category theory. Connecting this to the ${\\cal G}^{\ m f}$ fermionic symmetry of the microscopic physical system, we characterize and classify symmetry fractionalization in fermionic topological phases. We find that the physical fermion provides constraints that result in a tiered structure of obstructions and classification of fractionalization with respect to the physical fermions, the quasiparticles, and the vortices. The fractionalization of the (bosonic) symmetry $G= {\\cal G}^{\ m f}/\\mathbb{Z}_2^{\ m f}$ on the physical fermions is essentially the central extension of $G$ by the $\\mathbb{Z}_2^{\ m f}$ fermion parity conservation that yields the fermionic symmetry ${\\cal G}^{\ m f}$. We develop an algebraic theory of ${\\cal G}^{\ m f}$ symmetry defects for fermionic topological phases using $G$-crossed braided tensor category theory. This formalism allows us to fully characterize and classify $2+1$ dimensional fermionic symmetry enriched topological phases with on-site unitary fermionic symmetry group ${\\cal G}^{\ m f}$. We first apply this formalism to extract the minimal data specifying a general fermionic symmetry protected topological phase, and demonstrate that such phases with fixed ${\\cal G}^{\ m f}$ form a group under fermionic stacking. Then we analyze general fermionic symmetry enriched topological phases and find their classification is given torsorially by the classification of the symmetry fractionalization of quasiparticles combined with the classification of fermionic symmetry protected topological phases. We illustrate our results by detailing a number of examples, including all the invertible fermionic topological phases.

연구 동기 및 목표

• 물리적 페르미온을 가진 2+1D 페르미온 시스템에서 대칭성과 위상 질서의 상호작용을 동기부여하고 형식화한다.
• 페르미온 대칭과 Gf-crossed 구조를 도입하여 브레이디드 텐서 카테고리 이론을 페르미온 위상 질서로 확장한다.
• 페르미온 위상 질서에 대한 대칭 분수화 및 결함 구조를 분류하고, 장애물(obstructions)과 토저(torsor) 분류를 포함한다.
• 페르미온 분할과 일치하는 페르미온 SPT 및 SET 위상 stacking 프레임워크를 구성하고, 페르미온 수ariance에 따른 결합 및 응용을 분석한다.
• 모든 가역적 FMTC를 포함한 구체적 예시를 제공하여 분류를 설명한다.

제안 방법

• 페르미온 위상 질서를 서술하기 위해 braided tensor category(BTC) 및 super-modular/fermionic MTC(FMTC) 형식론을 채택한다.
• 페르미온 위상 대칭과 페르미온 대칭 그룹 Gf를 물리적 대칭 G를 Zf2에 의해 중앙 확장한 Z2의 중심 확장으로 도입한다.
• 퀀타입의 융합, 브레이딩, 대칭 작용 및 준입자, 와류 및 결함의 분수화를 모델링하기 위한 Gf-crossed BTCs를 개발한다.
• 대칭 분수화에 대한 obstructions를 결정하고, torsor(H2, H3)을 통한 분수화 패턴을 분류한다.
• Zf2 × Z2 FSPT 위상으로부터 기본 이론을 구성하여 일반 FSPT 위상을 효율적으로 생성하고 이들의 적층 구조를 분석한다.
• (2+1)D FSET 위상을 퀴라입자/와류 분수화, 결함 이론 및 FSPT torsors의 세 단계 분류를 통해 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (2+1)D 페르미온 위상에서 페르미온 대칭 분수화에 대한 장애물은 무엇인가?
• RQ2 Gf-crossed braided tensor category 이론은 페르미온 SET 위상에서 대칭 결함과 분수화를 어떻게 분류하는가?
• RQ3 보스론 대칭 작용과 페르미온 대칭 작용 및 분수화 간의 관계는 페르미온 수평성에 의해 어떤 방식으로 형성되는가?
• RQ4 적층 하에서 페르미온 SPT 위상의 군 구조는 무엇이며, 이것이 FSET 분류에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 명시적 예시(가역적 FMTC 포함)가 제안된 FSET 분류 프레임워크를 어떻게 입증하는가?

주요 결과

• 페르미온 대칭 분수화는 Z2 페르미온 수호성을 반영하는 obstructions와 토저를 통해 결정되며, 보스론 사례에 비해 세밀한 계층화를 보인다.
• 물리적 페르미온은 가능한 대칭 작용과 분수화 패턴을 제약하며, 페르미온 대칭 Gf를 G의 Zf2 중심 확장과 연결한다.
• Gf-crossed 결함 이론은 준입자와 와류에 대한 융합, 브레이딩 및 대칭의 작용을 포괄적으로 포착하여 FSET 위상을 완전히 특성화한다.
• 페르미온 SPT 위상은 페르미온 적층에 대해 군(group)으로 형성되며, 물리적 페르미온의 짝짓기 및 응집과 일치하여 FSET 위상을 분류하는 데 기여한다.
• 본 프레임워크는 예시에 대해 알려진 분류를 재현하고, FSPT 및 FSET 위상에 대한 토저 기반의 구조적 설명을 제공하며 모든 가역적 FMTC를 포함한다.