[논문 리뷰] Characterization of Determinantal Bivariate Polynomials

Papri Dey|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 31.

Advanced Optimization Algorithms Research인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 이변수 다항식의 확정적 행렬식 표현의 존재를 보장하는 필요충분조건을 제시한다. 이를 위해 계수를 직교행렬을 통한 스칼라곱으로 표현한다. 이는 모닉 대칭/에르미트 행렬식 표현의 계산을 가능하게 하며, 행렬식 문제에 대한 볼록 relaxation을 도입하여 특정 종류의 이변수 다항식의 계수 벡터 범위를 특성화한다.

ABSTRACT

Determinantal polynomials play a crucial role in semidefinite programming problems. Helton-Vinnikov proved that real zero (RZ) bivariate polynomials are determinantal. However, it leads to a challenging problem to compute such a determinantal representation. We provide a necessary and sufficient condition for the existence of definite determinantal representation of a bivariate polynomial by identifying its coefficients as scalar products of two vectors where the scalar products are defined by orthostochastic matrices. This alternative condition enables us to develop a method to compute a monic symmetric/Hermitian determinantal representations for a bivariate polynomial of degree $d$. In addition, we propose a computational relaxation to the determinantal problem which turns into a problem of expressing the vector of coefficients of the given polynomial as convex combinations of some specified points. We also characterize the range set of vector coefficients of a certain type of determinantal bivariate polynomials.

연구 동기 및 목표

• 이변수 다항식의 확정적 행렬식 표현을 위한 필요충분조건을 수립하기.
• 모닉 대칭 또는 에르미트 행렬식 표현을 구성하기 위한 계산 방법을 개발하기.
• 계수 벡터를 특정 점들의 볼록 조합으로 표현함으로써 행렬식 문제의 볼록 relaxation을 도입하기.
• 특정 종류의 행렬식 이변수 다항식의 계수 벡터의 범위 집합을 특성화하기.

제안 방법

• 이변수 다항식의 계수를 직교행렬을 이용한 두 벡터의 스칼라곱으로 표현하기.
• 직교행렬의 구조를 활용하여 확정적 행렬식 표현을 위한 필요충분조건 유도하기.
• 계수 벡터를 고정된 점들의 볼록 조합으로 표현함으로써 행렬식 표현 문제를 볼록 relaxation으로 재구성하기.
• 대칭성과 직교성 성질을 활용하여 모닉 대칭 또는 에르미트 표현 구성하기.
• 실제 영점 다항식에 관한 기존 결과와 Helton-Vinnikov 정리를 기초 제약 조건으로 적용하기.
• 직교행렬 제약 조건 하에서 다항식 사상의 이미지를 분석함으로써 계수 벡터의 범위 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 이변수 다항식이 확정적 행렬식 표현을 갖는가?
• RQ2 주어진 이변수 다항식에 대해 알고리즘적으로 모닉 대칭 또는 에르미트 행렬식 표현을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 행렬식 표현 문제의 볼록 relaxation은 무엇이며, 계수 벡터의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 어떤 계수 벡터들이 특정 유형의 행렬식 이변수 다항식으로부터 유도될 수 있는가?
• RQ5 특정 종류의 행렬식 이변수 다항식에 대해 계수 벡터의 기하적 범위는 무엇인가?

주요 결과

• 이변수 다항식이 확정적 행렬식 표현을 갖는다 하는 것은 그 계수가 직교행렬에 의해 정의된 스칼라곱으로 표현될 수 있을 때이고, 그 때에만 가능하다.
• 이 방법을 통해 차수 d인 임의의 이변수 다항식에 대해 모닉 대칭 또는 에르미트 행렬식 표현을 명시적으로 계산할 수 있다.
• 행렬식 문제는 볼록 조합 문제로 간소화되어 해가 존재하는 선형계획형 타입의 타당성 문제로 변환된다.
• 특정 종류의 행렬식 이변수 다항식의 계수 벡터의 범위는 직교행렬 제약 조건 하에서 특정 사상의 이미지로 완전히 특성화된다.
• 이 특성화는 이러한 행렬식 다항식으로부터 유도되는 계수 벡터 집합에 대한 완전한 대수적 및 기하학적 기술을 제공한다.