[논문 리뷰] Characterization of multivariate Bernoulli distributions with given margins

Roberto Fontana, Patrizia Semeraro|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 균일 확률을 가진 다변량 베르누이 분포를 표현하는 데 있어 프리셰트 클래스를 射선 밀도들의 볼록결합으로 표현함으로써, 주어진 균일 확률과 일치하는 연관 행렬의 타당성을 검사하고, 유효한 공동 밀도를 구성하기 위한 선형 프로그래밍 해법을 제안한다. 또한 대수적으로 명시적인 연관 범위를 유도한다.

ABSTRACT

We express each Fréchet class of multivariate Bernoulli distributions with given margins as the convex hull of a set of densities, which belong to the same Fréchet class. This characterisation allows us to establish whether a given correlation matrix is compatible with the assigned margins and, if it is, to easily construct one of the corresponding joint densities. % Such %representation is based on a polynomial expression of the distributions of a Fréchet class. We reduce the problem of finding a density belonging to a Fréchet class and with given correlation matrix to the solution of a linear system of equations. Our methodology also provides the bounds that each correlation must satisfy to be compatible with the assigned margins. An algorithm and its use in some examples is shown.

연구 동기 및 목표

• 다변량 이元 데이터에서 주어진 베르누이 균일 확률과 일치하는 주어진 연관 행렬이 타당한지 여부를 판단하는 오랜 도전 과제를 해결하기 위해.
• 연관 행렬과 균일 확률이 타당할 경우 유효한 공동 밀도를 체계적으로 구성하기 위한 방법을 제공하기 위해.
• 주어진 균일 확률과 일치하는 모든 변수 수와 연관 구조에 적용 가능한 쌍별 연관의 명시적 범위를 도출하기 위해.
• 다항식 및 행렬 표현을 사용하여 주어진 균일 확률과 모멘트를 갖는 다변량 이원수 데이터를 시뮬레이션하기 위한 계산 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 모든 다변량 베르누이 분포를 프리셰트 클래스로 표현하여 射선 밀도들의 볼록결합으로 표현함으로써, 이 클래스의 극단점으로서의 射선 밀도를 활용한다.
• 차분 행렬의 크로네커 tích 기반의 다항식 및 행렬 표현을 사용하여 공동 밀도를 누적분포함수의 형태로 표현한다.
• 주어진 모멘트를 갖는 공동 밀도를 찾는 문제를 射선 행렬과 연관 제약 조건을 포함하는 선형 방정식계로 공식화한다.
• 4ti2 소프트웨어를 사용하여 프리셰트 클래스 내의 모든 극단 분포를 열거함으로써 射선 행렬 $ R_p $ 를 구성한다.
• 표준 선형 프로그래밍 도구(예: SAS/IML 및 Proc Lpsolve)를 사용하여 유도된 선형 시스템을 해결함으로써 균일 및 연관 제약 조건을 만족하는 유효한 밀도를 찾는다.
• 사용된 射선 행렬의 구조와 선형 시스템을 활용하여 쌍별 연관의 분석적 경계를 도출함으로써 주어진 균일 확률과의 타당성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 연관 행렬이 다변량 이원수 데이터에서 특정한 베르누이 균일 확률과 일치할 수 있는가?
• RQ2 고정된 베르누이 균일 확률과 주어진 연관 구조를 만족하는 모든 가능한 공동 분포의 집합은 무엇인가?
• RQ3 연관 행렬과 균일 확률이 타당할 경우, 다변량 이원수 데이터의 유효한 공동 밀도를 효율적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 주어진 균일 확률과 일치하는 쌍별 연관의 이론적 경계는 무엇인가?
• RQ5 주어진 균일 확률과 모멘트를 갖는 다변량 이원수 데이터의 시뮬레이션은 선형 방정식계의 해법으로 축소될 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 균일 확률을 갖는 다변량 베르누이 분포의 프리셰트 클래스는 유한한 수의 射선 밀도들의 볼록결합으로 정확히 특성화될 수 있다.
• 균일 확률 $ p = (1/4, 1/4, 1/3) $ 인 삼변량 사례에서 연관 경계는 $ -0.236 \leq \rho_{12} \leq 0.707 $, $ -0.408 \leq \rho_{13} \leq 0.816 $, $ -0.289 \leq \rho_{23} \leq 0.577 $ 로 도출된다.
• 당시 $ \rho_{12} = 0.3 $, $ \rho_{13} = 0.25 $, $ \rho_{23} = -0.2 $ 일 경우, $ \boldsymbol{f}_p^T = (0.0146, 0, 0.1197, \dots, 0.4893) $ 를 갖는 유효한 공동 밀도가 구성되었다.
• 모든 균일 확률이 $ p_i = 1/2 $ 인 $ m = 5 $ 의 경우, 2,712개의 射线 밀도를 포함하며 주어진 연관 구조를 갖는 유효한 밀도가 성공적으로 생성되었다.
• $ m = 6 $ 이고 모든 $ p_i = 1/2 $ 인 경우, 707,264개의 射선 밀도를 처리하였으며, 계산 제약 조건 하에서도 확장성이 입증되었다.
• 이 방법은 주어진 균일 확률과 모멘트를 갖는 다변량 이원수 데이터의 시뮬레이션을 선형 시스템의 해법으로 축소함으로써, 표준 선형 프로그래밍 도구를 통한 효율적 계산을 가능하게 한다.