[논문 리뷰] Characterization of Tangent Cones of Noncollapsed Limits with Lower Ricci Bounds and Applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 하향 Ricci 곡률 하한이 있는 리만 다양체의 비압축적 과도한 거리-하우스도르프 극한에서 발생하는 접선 콘의 집합을 특성화하며, 이러한 접선 콘의 횡단면으로 나타날 수 있는 매끄러운 다양체의 가족에 대해 필수적이고 충분한 조건을 제공한다. 이는 비유일적이고 위상적으로 동형이 아닌 접선 콘을 가진 새로운 극한 공간을 구축함으로써, 유클리드 접선 콘 행동에 따른 분할이 잘 정의되어 있지 않음을 보여준다. 특히, $\mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2$와 $S^4$를 바탕으로 한 5차원 예시를 제시한다.

ABSTRACT

Consider a limit space $(M_α,g_α,p_α)\stackrel{GH}{ ightarrow} (Y,d_Y,p)$, where the $M_α^n$ have a lower Ricci curvature bound and are volume noncollapsed. The tangent cones of $Y$ at a point $p\in Y$ are known to be metric cones $C(X)$, however they need not be unique. Let $\barΩ_{Y,p}\subseteq\cM_{GH}$ be the closed subset of compact metric spaces $X$ which arise as cross sections for the tangents cones of $Y$ at $p$. In this paper we study the properties of $\barΩ_{Y,p}$. In particular, we give necessary and sufficient conditions for an open smooth family $Ω\equiv (X_s,g_s)$ of closed manifolds to satisfy $\barΩ=\barΩ_{Y,p}$ for {\it some} limit $Y$ and point $p\in Y$ as above, where $\barΩ$ is the closure of $Ω$ in the set of metric spaces equipped with the Gromov-Hausdorff topology. We use this characterization to construct examples which exhibit fundamentally new behaviors. The first application is to construct limit spaces $(Y^n,d_Y,p)$ with $n\geq 3$ such that at $p$ there exists for every $0\leq k\leq n-2$ a tangent cone at $p$ of the form $\RR^{k} imes C(X^{n-k-1})$, where $X^{n-k-1}$ is a smooth manifold not isometric to the standard sphere. In particular, this is the first example which shows that a stratification of a limit space $Y$ based on the Euclidean behavior of tangent cones is not possible or even well defined. It is also the first example of a three dimensional limit space with nonunique tangent cones. The second application is to construct a limit space $(Y^5,d_Y,p)$, such that at $p$ the tangent cones are not only not unique, but not homeomorphic. Specifically, some tangent cones are homeomorphic to cones over $\CC P^2\sharp\bar{\CC P}^2$ while others are homeomorphic to cones over $\Sn^4$.

연구 동기 및 목표

• 하향 Ricci 곡률 하한이 있는 리만 다양체의 비압축적 과도한 거리-하우스도르프 극한에서 한 점에서 발생하는 접선 콘의 집합을 특성화하는 것.
• 이러한 극한에서 접선 콘의 횡단면으로 나타날 수 있는 매끄러운 닫힌 다양체의 가족에 대해 필수적이고 충분한 조건을 규명하는 것.
• 기존의 분할에 대한 가정에 도전하는, 근본적으로 비유일적이고 위상적으로 동형이 아닌 접선 콘을 가진 새로운 극한 공간의 예를 구축하는 것.
• 이러한 극한 공간의 구축을 가능하게 하는 기하 조건인 Ricci 닫힘성의 개념을 수립하는 것.

제안 방법

• 닫힌 리만 다양체에 대해 Ricci 닫힘성의 개념을 도입한다: 그의 무한 링에서의 부분이 이식되는 원뿔 끝과 등거리인 완비 비음성 Ricci 곡률 다양체의 존재.
• 거리-하우스도르프 수렴과 메트릭 공간의 공간의 컴actness를 이용하여 접선 콘의 횡단면 가족의 폐쇄를 분석한다.
• 특정 함수를 사용하여 $ ds^2 + C^2(s)dr^2 + D^2(s)A^2(r)dr^2 + E^2(s)B^2(r)(dY^2 + dZ^2) $ 형태의 와핑 곱 메트릭을 통한 기하적 코브로서드를 구축하며, 비음성 Ricci 곡률을 확보한다.
• 두 번째 기본 형식 제어를 이용한 접합 기법을 적용한다: 경계의 두 번째 기본 형식이 크기와 부호에서 지배하도록 원뿔 끝과 매끄러운 캡을 연결한다.
• 결과로 얻어진 다양체가 비음성 Ricci 곡률을 가지며, 경계가 원래 횡단면과 등거리임을 확인함으로써 Ricci 닫힘성을 증명한다.
• Ricci 닫힘성 횡단면의 존재를 이용하여, 그 폐쇄가 주어진 가족과 일치하는 극한 공간을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 닫힌 다양체의 가정에 대해, 그것들이 하향 Ricci 곡률 하한이 있는 비압축적 극한 공간에서 접선 콘의 횡단면으로 나타나기 위한 필수적이고 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ2 한 점에서 접선 콘들이 비유일적일 뿐 아니라 위상적으로 동형이 아닌 경우도 존재하는 극한 공간을 구축할 수 있는가?
• RQ3 다양한 유클리드 차원을 가진 접선 콘과 함께 비구면 횡단면을 가진 극한 공간을 만들 수 있는가?
• RQ4 Ricci 닫힘성 횡단면의 존재가 그 폐쇄가 접선 콘 횡단면의 집합으로서 실현되는 극한 공간의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 논문은 비유일적 접선 콘을 가진 3차원 극한 공간을 구축하였으며, 각 $ 0 \leq k \leq n-2 $에 대해 $ \mathbb{R}^k \times C(X^{n-k-1}) $ 형태의 접선 콘을 포함한다. 여기서 $ X^{n-k-1} $는 표준 구와 등거리가 아닌 매끄러운 다양체이다.
• 이 예시는 한 점에서 서로 다른 유클리드 차원을 가진 여러 접선 콘들이 공존할 수 있으므로, 접선 콘의 유클리드 차원에 기반한 극한 공간의 분할이 잘 정의되어 있지 않음을 보여준다.
• 5차원 극한 공간이 구축되었으며, 여기서 접선 콘들은 비유일적일 뿐 아니라 위상적으로 동형이 아니다: 일부는 $ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $를 바탕으로 한 원뿔이고, 다른 일부는 $ S^4 $를 바탕으로 한 원뿔이다.
• 이러한 구축은 $ \mathbb{C}P^2\sharp\overline{\mathbb{C}P}^2 $가 Ricci 닫힘성을 가짐을 증명한다. 즉, 이 다양체 위의 원뿔과 등거리인 완비 5차원 다양체를 비음성 Ricci 곡률을 가지도록 구성함으로써 이를 입증한다.
• 논문은 체적과 Ricci 곡률에 대한 유계성 조건을 만족하고, 적어도 하나의 Ricci 닫힘성 다양체를 포함하는 매끄러운 닫힌 다양체의 가족은 비압축적 극한 공간에서 접선 콘 횡단면의 집합의 폐쇄로 실현될 수 있음을 증명한다.
• 결과적으로, 접선 콘 횡단면의 집합 $ \overline{\Omega}_{Y,p} $ 는 Gromov-Hausdorff 위상에서 이러한 가족의 위상적 폐쇄에 의해 정확히 특성화됨을 확인한다.