[논문 리뷰] Characterizations of 1-Way Quantum Finite Automata

Alex Brodsky, Nicholas Pippenger|ArXiv.org|1999. 03. 03.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 1방향 양자 유한 오토마타(1QFA)의 두 모델인 측정-한 번(MO-QFA)과 측정-다수(MM-QFA)를 특성화한다. 유한 오차로 동작하는 MO-QFAs는 정확히 군 언어를 수용하며, 제약이 없는 MO-QFAs는 자유군의 단어 문제를 해결할 수 있다. MM-QFAs는 새로운 구성 기법을 사용해 유한 오차로 조각별 테스트 가능한 집합을 수용할 수 있으며, 이 클래스는 여집합, 역호모모르피즘, 단어 몫에 대해 닫혀 있다.

ABSTRACT

The 2-way quantum finite automaton introduced by Kondacs and Watrous can accept non-regular languages with bounded error in polynomial time. If we restrict the head of the automaton to moving classically and to moving only in one direction, the acceptance power of this 1-way quantum finite automaton is reduced to a proper subset of the regular languages. In this paper we study two different models of 1-way quantum finite automata. The first model, termed measure-once quantum finite automata, was introduced by Moore and Crutchfield, and the second model, termed measure-many quantum finite automata, was introduced by Kondacs and Watrous. We characterize the measure-once model when it is restricted to accepting with bounded error and show that, without that restriction, it can solve the word problem over the free group. We also show that it can be simulated by a probabilistic finite automaton and describe an algorithm that determines if two measure-once automata are equivalent. We prove several closure properties of the classes of languages accepted by measure-many automata, including inverse homomorphisms, and provide a new necessary condition for a language to be accepted by the measure-many model with bounded error. Finally, we show that piecewise testable languages can be accepted with bounded error by a measure-many quantum finite automaton, in the process introducing new construction techniques for quantum automata.

연구 동기 및 목표

• 측정-한 번 및 측정-다수 1방향 양자 유한 오토마타(1QFA)의 언어 수용 능력을 특성화하는 것.
• MM-QFAs가 수용하는 언어의 닫힘 성질을 여집합, 역호모모르피즘, 단어 몫과 같은 연산에 대해 규명하는 것.
• 부분 순서 조건이 MM-QFAs에 의한 유한 오차 수용을 위한 필수 조건인지 또는 충분 조건인지 조사하는 것.
• 조각별 테스트 가능한 집합과 같은 복잡한 언어 클래스를 수용하는 MM-QFAs를 구축하기 위한 새로운 구성 기법을 개발하는 것.
• MO-QFAs와 확률적 유한 오토마타(PFAs) 사이의 동치성 및 시뮬레이션 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 계산의 끝에서 한 번의 측정만 수행하는 단일 측정을 가지며, 유니터리 전이 진폭을 갖는 5개의 원소로 구성된 MO-QFAs를 정의한다.
• 유니터리성과 진폭 진화를 이용해, 유한 오차에서의 MO-QFA 언어 수용을 군 언어에 등가로 특성화한다.
• 자동체의 텐서 곱 조합을 사용해 언어의 교차와 합집합을 시뮬레이션함으로써 부울 조합을 구축할 수 있도록 한다.
• 다양한 자동체를 조합하기 위해 텐서 기법을 적용하고, 지수적 스케일링을 통해 진폭 감쇠 비율을 제어함으로써 유한 오차를 확보한다.
• 양의 진폭 채널링을 사용해 부분 조각별 테스트 가능한 집합을 위한 MM-QFAs를 구성하고, 보조정리 4.13을 통해 여집합을 적용한다.
• 호모모르피즘의 역상과 몫 구성 기법을 사용해 역호모모르피즘과 단어 몫에 대한 닫힘성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 오차로 동작하는 측정-한 번 QFAs가 수용하는 언어의 집합은 무엇인가요?
• RQ2 유한 오차 수용이 없는 측정-한 번 QFAs는 자유군의 단어 문제와 같이 비정규 문제를 해결할 수 있는가요?
• RQ3 유한 오차로 동작하는 측정-다수 QFAs가 수용하는 언어의 집합은 어떤 닫힘 성질을 갖는가요?
• RQ4 부분 순서 조건은 MM-QFAs에 의한 유한 오차 수용을 위한 충분 조건인가요?
• RQ5 조각별 테스트 가능한 집합은 새로운 구성 기법을 사용해 MM-QFAs가 유한 오차로 수용할 수 있는가요?

주요 결과

• 유한 오차로 수용되는 MO-QFAs의 언어 집합은 정확히 군 언어의 집합이다.
• 제약이 없는 MO-QFAs는 자유군 위의 단어 문제를 해결할 수 있으며, 이는 비정규 언어의 수용을 보여준다.
• MO-QFAs는 확률적 유한 오토마타(PFAs)에 의해 시뮬레이션될 수 있으며, 두 개의 MO-QFAs 간 동치성을 판단하는 알고리즘이 존재한다.
• 유한 오차로 수용되는 MM-QFAs의 언어 집합은 여집합, 역호모모르피즘, 단어 몫에 대해 닫혀 있다.
• 조각별 테스트 가능한 집합은 진폭 채널링과 텐서 조합을 포함하는 새로운 구성 기법을 사용해 MM-QFAs가 유한 오차로 수용할 수 있다.
• 부분 순서 조건은 MM-QFAs에 의한 유한 오차 수용을 위한 필수 조건이며, 그 충분성 여부는 미해결 상태이며, 이는 부울 연산에 대한 닫힘성과 관련되어 있다.