[논문 리뷰] Characterizations of Besov and Triebel-Lizorkin Spaces via Averages on Balls

Feng Dai, Амиран Гогатишвили외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 29.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 위에서 균질성 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간의 새로운 특성화를 제시한다. 이는 매끄러운 순서 $\alpha \in (0,2\ell)$, $\ell \in \mathbb{N}$ 에 대해 함수와 그 구역 평균의 차이 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ 를 사용한다. 주요 결과는 이러한 차이 수열이 이들 공간에서 함수의 노름을 제어함을 보여주며, 임의의 양의 매끄러움 순서를 가진 균질 공간 위에서 이러한 공간을 정의하는 데 새로운 방법을 제공한다.

ABSTRACT

Let $\ell\in\mathbb{N}$ and $p\in(1,\infty]$. In this article, the authors prove that the sequence $\{f-B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k\in\mathbb{Z}}$ consisting of the differences between $f$ and the ball average $B_{\ell,2^{-k}}f$ characterizes the Besov space $\dot B^α_{p,q}( n)$ with $q\in (0, \infty]$ and the Triebel-Lizorkin space $\dot F^α_{p,q}( n)$ with $q\in (1,\infty]$ when the smoothness order $α\in(0,2\ell)$. More precisely, it is proved that $f-B_{\ell,2^{-k}}f$ plays the same role as the approximation to the identity $φ_{2^{-k}}\ast f$ appearing in the definitions of $\dot B^α_{p,q}( n)$ and $\dot F^α_{p,q}( n)$. The corresponding results for inhomogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces are also obtained. These results, for the first time, give a way to introduce Besov and Triebel-Lizorkin spaces with any smoothness order in $(0, 2\ell)$ on spaces of homogeneous type, where $\ell\in{\mathbb N}$.

연구 동기 및 목표

• 균질 공간 위에서 매끄러움 순서 $\geq 2$ 인 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간을 정의하는 데 열려 있는 문제를 해결하기 위해.
• 함수의 차이 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ 를 사용하여 균질 및 비균질 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간을 특성화하기 위해.
• 이러한 함수 공간의 적용 범위를 유클리드 공간을 초월하여, 기초 노름에 의존하지 않는 특성화를 보장함으로써 일반화하기 위해.
• 균질 공간 위에서 임의의 매끄러움 순서 $\alpha \in (0,2\ell)$ 를 가진 함수 공간을 구역 평균을 사용하여 정의하기 위한 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 이중계수를 사용하여 반지름 $t$ 의 구역에서의 평균에 대한 고차수 차이로 $B_{\ell,t}f(x)$ 를 정의한다.
• B_{\ell,t}와 관련된 푸리에 승수 $m_{\ell}(t\xi)$ 를 사용하여 차이 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ 를 주파수 국소화와 연결한다.
• 매끄러움 노름 $\|f\|_{\dot{B}^\alpha_{p,q}}$ 와 $\|f\|_{\dot{F}^\alpha_{p,q}}$ 를 바탕으로 $|f - B_{\ell,2^{-k}}f|$ 의 점별 및 $L^p$-유형 추정을 수립한다.
• Calderón 재구성 공식과의 비교를 통해 노름의 동치성을 증명하여 $\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ 가 부드러운 이진 분해와 유사하게 행동함을 보인다.
• 일반 노름 공간에서 단위 구역 $K$ 의 대칭성과 볼록성을 이용하여 결과를 $\mathbb{R}^n$ 위의 임의의 노름으로 일반화하고, 노름 변화에 대한 공간의 불변성을 증명한다.
• 최대 함수 추정 및 승수 $m_{\ell,K}(x)$ 의 점별 bound 를 적용하여 $B_{\ell,t,K}f$ 의 행동을 제어하고 필요한 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러움 순서 $\alpha \in (0,2\ell)$ 인 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간을 고전적 이진 분해 대신 차이 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ 를 사용하여 특성화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 특성화가 $\mathbb{R}^n$ 위의 노름 변화에 대해 강건한가? 즉, 일반적인 균질 공간으로의 확장이 가능한가?
• RQ3 $\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ 수열이 $q \in (0,\infty]$ 및 분별적으로 $p \in (1,\infty]$ 에 대해 $\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 와 $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 공간에서 함수의 전체 노름을 제어하는가?
• RQ4 비균질 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간으로도 동일한 특성화를 확장할 수 있는가?
• RQ5 차이 $f - B_{\ell,2^{-k}}f$ 와 이러한 함수 공간의 고전적 제곱 함수 또는 항등 근사 정의 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 수열 $\{f - B_{\ell,2^{-k}}f\}_{k \in \mathbb{Z}}$ 는 매끄러움 순서 $\alpha \in (0,2\ell)$, $p \in (1,\infty]$, $q \in (0,\infty]$ 에 대해 균질 Besov 공간 $\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 을 특성화하며, 이 노름은 $\left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p}$ 와 동치이다.
• 균질 Triebel-Lizorkin 공간 $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해서는 $p \in (1,\infty)$ 및 $q \in (1,\infty]$ 일 때 노름이 $\left\| \left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{k\alpha q} |f - B_{\ell,2^{-k}}f|^q \right\}^{1/q} \right\|_{L^p}$ 와 동치이며, $p = \infty$ 일 때는 최대 함수 유형의 표현식과 동치이다.
• 유클리드 구역을 $\mathbb{R}^n$ 위의 임의의 노름의 단위 구역 $K$ 로 대체해도 특성화가 유지되며, $B_{\ell,t,K}f$ 는 확대된 $K$ 에 대한 평균의 이항 조합으로 정의된다.
• B_{\ell,t,K}와 관련된 승수 $m_{\ell,K}(x)$ 는 $|x|$ 가 작을 때 $|m_{\ell,K}(x)| \sim |x|^{2\ell}$ 를 만족하며, $|\nabla^i m_{\ell,K}(x)| \lesssim \min\{|x|^{2\ell - i}, 1\}$ 이다. 이는 올바른 동차성과 매끄러움을 보장한다.
• 결과는 $\mathbb{R}^n$ 위의 노름 선택에 영향을 받지 않으며, 유한 차원성으로 인해 $\dot{B}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 과 $\dot{F}^\alpha_{p,q}(\mathbb{R}^n)$ 공간이 임의의 노름에 대해 동치이기 때문이다.
• 이 방법은 균질 공간 위에서 임의의 매끄러움 순서 $\alpha \in (0,2\ell)$ 를 가진 Besov 및 Triebel-Lizorkin 공간을 정의하는 데 있어 새로운 내재적 방법을 제공하며, 이 분야의 열린 문제를 해결한다.