[논문 리뷰] Characterizations of distributions via order statistics with random exponential shifts

Mohammad Ahsanullah, V. B. Nevzorov외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 23.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 독립적인 지수 랜덤 변수로 이동된 순서통계량 간의 분포 등식을 사용하여 연속 확률 분포를 특성화한다. 인접하거나 비인접한 순서통계량과 지수 이동을 포함하는 확률적 방정식을 해결함으로써 지수, 로지스틱, 일반화된 로지스틱 분포의 가족에 대한 명시적 퍼센트 함수를 도출하며, 이는 이전의 순서통계량과 지수 변수를 이용한 지수 및 로지스틱 분포 특성화 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

A class of probability distributions is characterized via equalities in law between two order statistics shifted by independent exponential variables. An explicit formula for the quintile function of the identified family of distributions is obtained. The results extend some known characterizations of exponential and logistic distributions.

연구 동기 및 목표

• 순서통계량과 독립적인 지수 이동을 이용한 지수 및 로지스틱 분포의 알려진 특성화를 일반화하기 위해.
• r = k+1 또는 r = k+2일 때, X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{r,n} - b\xi_2 를 만족하는 분포의 가족을 규명하기 위해.
• 이 분포 등식 하에서 기본 분포의 퍼센트 함수 Q(x)에 대한 명시적 표현을 유도하기 위해.
• Zykov와 Nevzorov(2010) 및 Ahsanullah 등(2010)의 이전 결과를 F^\alpha-스키마를 사용하여 더 넓은 분포 특성화로 확장하기 위해.

제안 방법

• 주어진 분포 등식 X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 가 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을, 주요 도구로 퍼센트 함수 Q(x)를 사용하여 유도한다.
• 역누적분포함수(퍼센트 함수)를 적용하여 확률적 등식을 Q'(x)를 포함하는 미분방정식으로 변환한다.
• 비인접 순서통계량의 경우, Q'(x) = \frac{a(n-k-1)(n-k)x^2 + bk(k+1)(1-x)^2}{x(1-x)(k+1 + (n-2k-1)x)} 를 해결하여 미분방정식을 풀며.
• F^\alpha-스키마를 사용하여 변환된 분포 하에서 X \stackrel{d}{=} X_{n,n} - a\xi 를 고려함으로써 결과를 일반화하고, 특성화 가능한 분포의 범위를 확장한다.
• 레마 1을 활용하여 밀도를 동치로 놓고 F(x), F'(x), 그리고 매개변수 a, b, k, n를 포함하는 함수방정식을 도출한다.
• 유도된 Q'(x) 표현식을 적분하여 닫힌 형태의 퍼센트 함수를 얻으며, 순서통계량이 인접하지 않을 경우 추가 보정항 W(x;k,n)를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인접한 순서통계량에 대해 a, b \geq 0, (a,b) \neq (0,0) 이고 고정되어 있을 때, 어떤 분포 가족이 X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 를 만족하는가?
• RQ2 인접한 순서통계량의 경우, 부모 분포의 퍼센트 함수 Q(x)는 매개변수 a, b, k, n에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 비인접한 순서통계량, 예를 들어 X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 를 포함할 경우, 퍼센트 함수의 형태는 어떠한가?
• RQ4 F^\alpha-스키마를 사용하여 지수 이동과 극값 순서통계량을 포함하는 분포 등식의 특성화를 일반화할 수 있는가?
• RQ5 고차원 간격 또는 다중 지수 이동이 포함될 경우, 퍼센트 함수의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 인접한 순서통계량 X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+1,n} - b\xi_2 에 대해, 퍼센트 함수는 0 < x < 1 에서 Q(x) = \log\left\{ c x^{bk} (1-x)^{-a(n-k)} \right\} 이며, c > 0 은 임의의 상수이다.
• a = 1/(n-k), b = 0 일 경우, 결과로 얻어진 분포는 F(x) = 1 - e^{-(x - c)} for x \geq c 인 지수분포이다.
• a = 0, b = 1 일 경우, 분포는 왼쪽으로 잘린 지수분포로, F(x) = \exp(x - c) for x \leq c 이다.
• bk = a(n-k) 일 경우, 분포는 로지스틱 분포로, F(x) = \frac{c_1}{c_1 + \exp(-x)} 이며, c_1 > 0 이다.
• 비인접한 순서통계량 X_{k,n} + a\xi_1 \stackrel{d}{=} X_{k+2,n} - b\xi_2 에 대해, 퍼센트 함수에는 추가 보정항 W(x;k,n) 가 포함되며, n = 2k+1 일 경우 선형이다.
• F^\alpha-스키마 하에서, 퍼센트 함수는 Q(x) = \log\left\{ c x^{b\alpha} (1-x)^{-(a+b)\alpha - a} \right\} 로 변형되어, 분포 가족을 분포함수의 거듭제곱 변환을 포함하도록 일반화한다.