[논문 리뷰] Characterizations of minimal dominating sets and the well-dominated property in lexicographic product graphs

Didem Gözüpek, Ademir Hujdurović외 1명|Repository of the University of Primorsk (University of Primorska)|2017. 01. 20.

Advanced Graph Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최소 지배 집합과 최소 전역 지배 집합의 일반화인 불가약 지배 집합의 개념을 도입하고, 비자명한 렉시코그래픽 곱 그래프에서 최소 지배 집합을 특성화하는 데 사용한다. 주요 기여는 잘 지배된 렉시코그래픽 곱 그래프의 완전한 특성화와, 지배 수가 유계인 클래스에서 잘 지배된 그래프를 다항시간에 식별할 수 있는 알고리즘을 제시하는 것으로, 이 분야의 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

A graph is said to be well-dominated if all its minimal dominating sets are of the same size. The class of well-dominated graphs forms a subclass of the well studied class of well-covered graphs. While the recognition problem for the class of well-covered graphs is known to be co-NP-complete, the recognition complexity of well-dominated graphs is open. In this paper we introduce the notion of an irreducible dominating set, a variant of dominating set generalizing both minimal dominating sets and minimal total dominating sets. Based on this notion, we characterize the family of minimal dominating sets in a lexicographic product of two graphs and derive a characterization of the well-dominated lexicographic product graphs. As a side result motivated by this study, we give a polynomially testable characterization of well-dominated graphs with domination number two, and show, more generally, that well-dominated graphs can be recognized in polynomial time in any class of graphs with bounded domination number. Our results include a characterization of dominating sets in lexicographic product graphs, which generalizes the expression for the domination number of such graphs following from works of Zhang et al. (2011) and of Šumenjak et al. (2012).

연구 동기 및 목표

• 렉시코그래픽 곱 그래프에서 최소 지배 집합을 특성화하기 위한 통합 프레임워크를 개발한다.
• 지배 수가 유계인 클래스에서 잘 지배된 그래프를 식별하는 문제를 해결한다.
• 새로운 구조적 개념인 불가약 지배 집합을 도입하여 렉시코그래픽 곱에서의 지배에 관한 기존 결과를 확장한다.
• 잘 지배된 비자명한 렉시코그래픽 곱 그래프의 특성화를 제공한다.
• 잘 지배된 그래프와 초그래프의 전위 문제 사이의 연결 고리를 탐색하여 알고리즘적 식별에 활용한다.

제안 방법

• 최소 지배 집합과 최소 전역 지배 집합을 일반화하는 불가약 지배 집합의 개념을 도입한다.
• 비자명한 렉시코그래픽 곱 그래프에서 모든 최소 지배 집합을 불가약 지배 집합을 사용하여 특성화한다.
• 렉시코그래픽 곱에서 최소 지배 집합과 그 요소들로부터 유도된 Sperner 초그래프의 최소 전위 사이의 대응 관계를 설정한다.
• Eiter와 Gottlob (1995)가 보여준 바와 같이, 초모서리의 크기가 유계일 경우 초그래프 전위 문제의 다항시간 해법을 활용한다.
• 이를 통해 지배 수가 k인 잘 지배된 그래프는 임의의 고정된 k에 대해 다항시간에 식별 가능하다는 것을 보인다.
• 이 프레임워크를 적용하여 잘 지배된 렉시코그래픽 곱 그래프의 완전한 특성화를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 렉시코그래픽 곱 그래프에서 최소 지배 집합의 구조는 어떠한가?
• RQ2 불가약 지배 집합의 개념을 사용하여 잘 지배된 렉시코그래픽 곱 그래프를 특성화할 수 있는가?
• RQ3 지배 수가 유계인 클래스에서 잘 지배된 그래프의 식별 문제는 다항시간에 해결 가능한가?
• RQ4 불가약 지배 집합은 최소 지배 집합과 최소 전역 지배 집합과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 유사한 기법을 사용하여, 모든 최소 전역 지배 집합의 크기가 같은 잘 전역 지배된 그래프를 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 불가약 지배 집합의 개념을 사용하여 잘 지배된 비자명한 렉시코그래픽 곱 그래프의 완전한 특성화를 제공한다.
• 지배 수가 k인 잘 지배된 그래프는 임의의 고정된 k에 대해 다항시간에 식별 가능하다는 것을 증명하며, 이는 이 클래스에서의 열린 문제를 해결한다.
• 지배 수가 유계인 어떤 그래프 클래스이든 잘 지배된 그래프의 식별은 초그래프 전위 문제와의 연결 덕분에 다항시간에 가능하다.
• 지배 수가 2인 잘 지배된 그래프에 대해 최소 전위의 구조에 기반한 다항식 테스트 가능한 특성화가 제시된다.
• 이 프레임워크는 렉시코그래픽 곱 그래프의 지배 수에 관한 기존 결과를 일반화하며, Zhang 등(2011)과 Šumenjak 등(2012)의 이전 연구를 확장한다.
• 이 연구는 불가약 지배 집합이 최소 지배 집합과 최소 전역 지배 집합의 공통 일반화임을 규명하며, 지배 이론 전반에 걸쳐 더 넓은 적용 가능성을 시사한다.