[논문 리뷰] Characterizations of smooth spaces by $ ho_*$-orthogonality

Mohammad Sal Moslehian, Ali Zamani외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 19.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 노름 공간에서 $\rho_*^*$-수직성을 도입하고 분석하며, 이 수직성을 보존하는 선형 연산자가 모든 $x \in X$에 대해 $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$라는 노름 범위를 만족함을 증명한다. 여기서 $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$이다. 또한 $(X, \perp_{\rho_*})$가 Rätz의 의미에서 수직성 공간이 됨을 보이며, $\rho_*$-수직성을 통해 매끄러운 노름 공간을 특성화한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to present some results concerning the $\ ho_*$-orthogonality in real normed spaces and its preservation by linear operators. Among other things, we prove that if $T\\,: X \\longrightarrow Y$ is a nonzero linear $(I, \ ho_*)$-orthogonality preserving mapping between real normed spaces, then $$\\frac{1}{3}\\|T\\|\\|x\\|\\leq\\|Tx\\|\\leq 3[T]\\|x\\|, \\qquad (x\\in X)$$ where $[T]:=\\inf\\{\\|Tx\\|: \\,x\\in X, \\|x\\|=1\\}$. We also show that the pair $(X,\\perp_{\ ho_*})$ is an orthogonality space in the sense of R\\"{a}tz. Some characterizations of smooth spaces are given based on the $\ ho_*$-orthogonality.

연구 동기 및 목표

• 실수 노름 공간에서 $\rho_*^*$-수직성의 성질을 조사하기 위해.
• 수직성 보존 선형 연산자의 행동을 연구하기 위해.
• 노름 공간이 $\rho_*^*$-수직성을 통해 매끄럽다는 조건을 설정하기 위해.
• $(X, \perp_{\rho_*})$가 Rätz의 의미에서 수직성 공간의 공리를 만족하는지 보여주기 위해.
• $\rho_*^*$-수직성과 관련된 함수방정식과 안정성 결과를 도출하기 위해.

제안 방법

• 좌우 노름 도함수의 곱을 통해 $\rho_*^*$-수직성을 정의: $x \perp_{\rho_*} y \Leftrightarrow \rho_-(x,y)\rho_+(x,y) = 0$.
• 노름 도함수 사상 $\rho_\pm(x,y) = \|x\| \lim_{t \to 0^\pm} \frac{\|x+ty\| - \|x\|}{t}$를 사용하여 수직성의 특성화.
• 중간값 정리를 적용하여 임의의 2차원 부분공간에서 $x \perp_{\rho_*} y$ 및 $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$를 만족하는 벡터를 구성.
• $\rho_*^*$-수직성이 Rätz 수직성 공간 공리계를 충족함을 증명하여 추상 수직성 이론과의 일致성을 확보.
• 함수방정식 특성화 도출: $f(x+y) = f(x)+f(y)$ for $x \perp_{\rho_*} y$ 이면, $f(x) = A(x) + B(x,x)$이며, $B(x,y)=0$ when $x \perp_{\rho_*} y$.
• Hyers-Ulam 유형의 안정성 결과 확립: $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$ for $x \perp_{\rho_*} y$ 이면, $f$는 $\frac{68}{3}\varepsilon$ 이내로 덧셈-이차형 사상에 균일하게 가까워진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\rho_*^*$-수직성이 노름 공간에서 Birkhoff–James, 이sov각, 반내적 수직성과 같은 다른 수직성 유형과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 실수 노름 공간 간의 $\rho_*^*$-수직성을 보존하는 선형 연산자에 대해 어떤 노름 범위를 설정할 수 있는가?
• RQ3 $\rho_*^*$-수직성을 통해 매끄러운 노름 공간이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $(X, \perp_{\rho_*})$가 Rätz의 의미에서 수직성 공간의 공리를 만족하는가?
• RQ5 $\rho_*^*$-수직성을 포함하는 함수방정식은 덧셈 및 이차 성분으로 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $x \in X$에 대해 $\frac{1}{3}\|T\|\|x\| \leq \|Tx\| \leq 3[T]\|x\|$를 만족하는 비영인 선형 $(I, \rho_*)$-수직성 보존 사상 $T: X \to Y$의 경우, $[T] = \inf_{\|x\|=1} \|Tx\|$이다.
• $(X, \perp_{\rho_*})$는 Rätz의 의미에서 수직성 공간이 되며, 이러한 구조에 필요한 공리를 충족한다.
• 임의의 두 차원 부분공간 $P$에서 모든 $x \in P$ 및 $\lambda \geq 0$에 대해, $x \perp_{\rho_*} y$ 및 $x+y \perp_{\rho_*} \lambda x - y$를 만족하는 $y \in P$가 존재한다.
• $G$가 아벨 군인 경우, $f: X \to G$가 모든 $x \perp_{\rho_*} y$에 대해 $f(x+y) = f(x)+f(y)$를 만족함과 동시에 $f(x) = A(x) + B(x,x)$이며, $x \perp_{\rho_*} y$일 때 $B(x,y)=0$이 되는 것은 $A$가 덧셈적이고 $B$가 이차덧셈적이고 대칭임과 동치이다.
• $Y$가 실수 바나흐 공간인 경우, $f: X \to Y$가 모든 $x \perp_{\rho_*} y$에 대해 $\|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \leq \varepsilon$를 만족하면, $f$는 $A(x) + Q(x)$ 형태의 덧셈-이차형 사상과 $\frac{68}{3}\varepsilon$ 이내로 균일하게 가까워진다.