[논문 리뷰] Characterizations of the $(b, c)$-inverse in a ring

Long Wang, Jianlong Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 04.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 직접 합 분해, 영수, 가역 원소를 이용하여 링 내의 $(b,c)$-역행렬에 대한 여러 특성화를 제시하며, $(b,c)$-역행렬, 하이브리드 $(b,c)$-역행렬, 영수 $(b,c)$-역행렬 간의 동치성을 확립한다. 또한 동일한 $(b,c)$-멱등원을 갖는 원소들을 특성화하고, 곱 $ad$의 $(b,c)$-역행렬에 대해 역순 규칙 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$가 성립하는 데 필요한 필수 및 필요충분 조건을 제시한다.

ABSTRACT

Let $R$ be a ring and $b, c\in R$. In this paper, we give some characterizations of the $(b,c)$-inverse, in terms of the direct sum decomposition, the annihilator and the invertible elements. Moreover, elements with equal $(b,c)$-idempotents related to their $(b, c)$-inverses are characterized, and the reverse order rule for the $(b,c)$-inverse is considered.

연구 동기 및 목표

• 직접 합 분해, 영수 조건, 가역 원소를 이용하여 링 내 $(b,c)$-역행렬에 대한 새로운 특성화를 제공하기.
• b와 c가 정규 원소일 때 $(b,c)$-역행렬, 하이브리드 $(b,c)$-역행렬, 영수 $(b,c)$-역행렬 간의 동치성을 확립하기.
• 자신의 $(b,c)$-역행렬과 관련된 동일한 $(b,c)$-멱등원을 갖는 원소들을 특성화하기.
• 곱 $ad$의 $(b,c)$-역행렬에 대해 역순 규칙이 성립하는 조건을 조사하기.
• 이미지-핵 $(p,q)$-역행렬 이론의 결과를 더 넓은 $(b,c)$-역행렬 프레임워크로 일반화하기.

제안 방법

• y = a^{\frown(b,c)}일 때 조건 $yab = b$, $cay = c$, 및 $y \in (bRy) \cap (yRc)$를 통해 $(b,c)$-역행렬의 정의를 활용하기.
• b와 c의 상과 핵을 통해 링 $R$의 직접 합 분해를 적용하여, 멱등원과 영수의 구조를 활용하기.
• 역행렬의 존재성과 유일성을 특성화하기 위해 $l(a)$, $r(a)$ 및 그 좌/우 영수를 사용하기.
• b와 c가 정규 원소일 경우 $(b,c)$-역행렬, 하이브리드 $(b,c)$-역행렬, 영수 $(b,c)$-역행렬 간의 동치성을 이용하기.
• a^{\frown(b,c)}, d^{\frown(b,c)} 및 그 곱을 포함하는 항등식을 통해 역순 규칙에 필요한 필수 및 필요충분 조건 유도하기.
• 기존의 정규성 및 군 역행렬 이론을 적용하여 $a^{\frown(b,c)}a$와 $aa^{\frown(b,c)}$가 멱등원이 되는 조건과 이들이 서로 같은 조건을 특성화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 b와 c에 대해 어떤 조건에서 $(b,c)$-역행렬이 존재하며, 직접 합 분해를 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 언제 $(b,c)$-역행렬, 하이브리드 $(b,c)$-역행렬, 영수 $(b,c)$-역행렬이 동치가 되는가?
• RQ3 두 원소 $a$와 $d$가 동일한 $(b,c)$-멱등원 $a^{\frown(b,c)}a$와 $d^{\frown(b,c)}d$를 갖는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 곱의 $(b,c)$-역행렬에 대해 역순 규칙 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$가 성립하는 조건은 언제인가?
• RQ5 $(b,c)$-멱등원 $a^{\frown(b,c)}a$와 $aa^{\frown(b,c)}$는 $a^{\frown(b,c)}d$와 같은 곱의 군 역행렬성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• b와 c가 정규 원소일 경우 $(b,c)$-역행렬, 하이브리드 $(b,c)$-역행렬, 영수 $(b,c)$-역행렬은 상호 동치이다.
• Lemma 2.1에 의해 $(b,c)$-역행렬이 존재하는 것은 $Rb = Rt$ 및 $cR = tR$를 만족하는 $t = cab$가 존재하는 것과 필요충분 조건이다.
• $(b,c)$-멱등원 $a^{\frown(b,c)}a$와 $aa^{\frown(b,c)}$는 $R$ 내 멱등원이며, 두 원소 $a$와 $d$에 대해 이들이 같은 조건은 $a^{\frown(b,c)}d$의 군 역행렬성에 의해 특성화된다.
• 역순 규칙 $(ad)^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$가 성립하는 것은 $d^{\frown(b,c)} = d^{\frown(b,c)}add^\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$ 및 $a^{\frown(b,c)} = a^{\frown(b,c)}add^\frown(b,c)}a^{\frown(b,c)}$를 만족하는 것과 필요충분 조건이며, Theorem 4.4에 의해 밝혀졌다.
• 만약 $a^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}$이면 역순 규칙이 성립하며, 이 조건은 $a^{\frown(b,c)}dd^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}aa^{\frown(b,c)}$ 및 $d^{\frown(b,c)}da^{\frown(b,c)}a = da^{\frown(b,c)}ad^{\frown(b,c)}$와 동치이며, Theorem 4.5에 의해 보여졌다.
• $a^{\frown(b,c)}a = dd^{\frown(b,c)}$ 조건은 $a^{\frown(b,c)}d$가 군 역행렬을 가지며 $(a^{\frown(b,c)}d)^{\text{\#}} = d^{\frown(b,c)}a$임을 의미하며, 반대로도 성립하여 역순 규칙에 대한 군 역행렬 기준을 확립한다.