[논문 리뷰] Characterizations of unimodular finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 14.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 텐서 범주가 단조롭다는 것을 보여주기 위해 중심에서 범주 자체로의 잊혀진 함자(forgetful functor)를 분석함으로써, 단조롭다는 것의 여러 동치 조건을 수립한다. 단조성은 잊혀진 함자가 프로베누스 함자(Frobenius functor)임과 동치이며, 좌우 수반 함자들이 쌍대성을 보존하거나 항등원 대상을 스스로 쌍대적인 대상으로 보냄과 동치임을 증명한다. 이는 핸들바디 링크의 불변량을 일반화한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, let $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ denote its center, and let $L$ and $R$ be a left and a right adjoint functor of the forgetful functor $U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) o \mathcal{C}$. We show that the following assertions are equivalent: (i) $\mathcal{C}$ is unimodular, (ii) $U$ is a Frobenius functor, (iii) $L$ preserves duality, (iv) $L(1)$ is self-dual, (v) $R$ preserves duality, and (vi) $R(1)$ is self-dual, where $1 \in \mathcal{C}$ is the unit object. Some other equivalent assertions are also given. As an application, we generalize Ishii and Masuoka's construction of an invariant of handlebody-links to unimodular finite tensor categories.

연구 동기 및 목표

• 유한 텐서 범주가 단조롭다는 것을 보장하는 여러 동치 조건을 규명하고 통합하는 것.
• 범주 중심에서 그 자체로의 잊혀진 함자가 단조성을 결정하는 데서 어떤 역할을 하는지 명확히 하는 것.
• 이시와 마스우카가 제안한 핸들바디 링크 불변량의 구축 방식을 단조롭고 유한한 텐서 범주로의 더 넓은 맥락으로 확장하는 것.
• 잊혀진 함자의 좌우 수반 함자들의 성질을 통해 단조성을 특징짓는 것.

제안 방법

• 함자 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 와 그의 좌우 수반 함자 $ L $ 과 $ R $ 을 분석하는 것.
• 단조성과 함자 $ U $ 가 프로베누스 함자임이 서로 동치임을 증명하는 것.
• 함자 $ L $ 이 쌍대성을 보존하는 것과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치임을 증명하는 것.
• 항등원 대상 $ 1 $ 에 대해 $ L(1) $ 이 스스로 쌍대적인 대상임과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치임을 보이는 것.
• 함자 $ R $ 이 쌍대성을 보존하는 것과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치임을 증명하는 것.
• 이러한 동치관계를 이용하여, 모듈라 범주에서의 핸들바디 링크 불변량을 단조롭고 유한한 텐서 범주로 일반화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 텐서 범주 $ \mathcal{C} $ 에 대해 단조성과 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 범주 중심에서 그 자체로의 잊혀진 함자 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 는 단조적 범주 맥락에서 프로베누스 함자와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 잊혀진 함자 $ U $ 의 좌우 수반 함자 $ L $ 과 $ R $ 이 $ \mathcal{C} $ 의 단조성을 어떻게 반영하는가?
• RQ4 이시와 마스우카가 제안한 핸들바디 링크 불변량은 모듈라 범주를 초월해 확장될 수 있는가?
• RQ5 항등원 대상에 대해 $ L(1) $ 과 $ R(1) $ 이 스스로 쌍대적인 대상임이 단조성과 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 범주 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것과 잊혀진 함자 $ U: \mathcal{Z}(\mathcal{C}) \to \mathcal{C} $ 가 프로베누스 함자임이 서로 동치이다.
• 좌수반 함자 $ L $ 이 쌍대성을 보존하는 것과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치이다.
• $ L(1) $ 이 스스로 쌍대적인 대상임과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치이다. 여기서 $ 1 $ 은 $ \mathcal{C} $ 의 항등원 대상이다.
• 우수반 함자 $ R $ 이 쌍대성을 보존하는 것과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치이다.
• $ R(1) $ 이 스스로 쌍대적인 대상임과 $ \mathcal{C} $ 가 단조롭다는 것이 서로 동치이다.
• 이시와 마스우카가 제안한 핸들바디 링크 불변량의 구축 방식이 단조롭고 유한한 텐서 범주로 일반화되었다.