[논문 리뷰] Chebyshev's conjecture and the prime number race

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 35인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 소수 급수에 관한 체비셰프의 추측을 조사하며, 확장된 리만 가설(ERH)을 가정할 경우, 디리클레 L함수의 영점들이 형성하는 유한한 장벽으로 인해 큰 x에 대해 특정 소수 개수의 순서가 발생하지 않을 수 있음을 증명한다. 이는 L함수의 영점 기반 분석을 통해 비교 소수 이론의 핵심 문제를 해결하며, 특정 상대적 소수 개수의 순서가 무한히 반복되지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

We survey results about prime number races, that is, results about the relative sizes of prime counting functions $π_{q,a}(x)$, with $q$ fixed and $a$ varying. In particular, we describe recent work by the authors on these problems.

연구 동기 및 목표

• 산술급수 내 소수의 빈도와 순서에 관한 비교 소수 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결하기 위해.
• 큰 x에 대해 π(x,k,l₁)>π(x,k,l₂)>…>π(x,k,l_r)와 같은 특정 순서가 무한히 반복되지 않을 수 있는지 조사하기 위해.
• 디리클레 L함수의 영점 기반으로 소수 개수 분포에 유한하거나 무한한 장벽이 존재하는지 규명하기 위해.
• s > 1/2 에서 L함수가 0이 되지 않는 것의 영향을 분석하여, 체비셰프의 추측과 소수 개수 차이의 부호 변화에 대한 함의를 규명하기 위해.
• ERH 하에서, 일부 자연적인 소수 개수 순서가 임의로 큰 x에 대해 발생하지 않을 수 있음을 입증함으로써 리틀우드 유형 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 디리클레 L함수 L(s,χ)의 비자명한 영점에 대한 합으로 π(x,k,l)를 연결하는 명시적 공식을 사용하며, 특히 Re(ρ) > β > 1/2 이고 Im(ρ) > 0 인 ρ에 중점을 둔다.
• 에르고드 4.1을 적용하여 Δ(x,k,l₁,l₂)를 영점에 대한 합의 실수부로 표현하며, 오차 항 O(x^β log²x)를 포함하여 渐近 분석을 가능하게 한다.
• 비판선 오른편에 위치한 L(s,χ)의 고립된 영점을 가정함으로써 유한한 장벽을 구성하고, 큰 x에 대해 π(x,k,l)의 특정 순서가 발생하지 않음을 보여준다.
• 크로네커의 정리와 영점의 허수부의 Q에 대한 선형 독립성을 활용하여, 영점이 Q 위에서 선형 독립일 경우 φ(k)!개의 모든 순서가 발생할 수 있음을 보였다.
• k=5이고 레이스에 4명의 참가자가 있는 경우를 분석하여, L(s,χ₁)이 σ>1/2 이고 t가 큰 σ+it에서 하나의 영점을 가질 경우, π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)의 순서는 큰 x에 대해 성립하지 않음을 증명하였다.
• 다양한 특성에 걸쳐 여러 개의 영점을 가진 경우를 고려하여 r=3의 경우를 확장하였으며, 적절한 영점 분포 조건 하에서 다중 영점이 비판선 오른편에 존재할 경우 삼중 순서가 차단될 수 있음을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 리만 가설 하에서, 임의로 큰 x에 대해 π(x,k,l₁)>π(x,k,l₂)>…>π(x,k,l_r)의 순서가 발생하지 않을 수 있는가?
• RQ2 디리클레 L함수의 영점의 유한 또는 무한 집합이 특정 소수 개수 순서가 무한히 반복되지 않도록 차단하는 장벽을 형성하는가?
• RQ3 π(x,k,l₁) ≥ π(x,k,l₂) 성질이 x의 양의 상한 밀도를 가진 범위에서 차단될 수 있는 장벽을 구축할 수 있는가?
• RQ4 두 잔여류가 동시에 평균 이상으로 우세한 상황을 방지하는 장벽을 구축할 수 있는가?
• RQ5 한 잔여류가 큰 x에 대해 항상 선두 또는 항상 꼴지로 남는 사건을 차단하는 장벽이 존재하는가?

주요 결과

• k=5이고 l₁=1, l₂=4, l₃=2, l₄=3일 때, L(s,χ₁)이 σ>1/2 이고 t가 큰 σ+it에서 하나의 영점을 가질 경우, 큰 x에 대해 π(x,5,1)>π(x,5,4)>π(x,5,2)>π(x,5,3)의 순서는 성립하지 않는다.
• 차이 Δ(x,k,l₁,l₂)는 어떤 C>0에 대해 -C x^σ / (t log x) 이하로 유계이므로, 제안된 순서는 渐近적으로 성립하지 않는다.
• L함수의 영점의 허수부가 Q 위에서 선형 독립일 경우, φ(k)!개의 모든 순서가 ERH 하에서도 무한한 x 집합에서 발생한다.
• ERH 조건 하에서, 첫 번째 부호 변화나 평균 우세성 성질을 차단하는 장벽은 많은 k, l₁, l₂에 대해 구축 가능하다.
• r=3의 경우, 서로 다른 특성에 걸쳐 여러 개의 영점이 비판선 오른편에 위치하고 허수부가 Q 위에서 선형 독립일 경우, 삼중 순서를 차단하는 장벽이 존재한다.
• 논문은 ERH 하에서, 단 하나의 영점이 σ>1/2 이고 t가 크면, 다른 모든 L함수들이 비판대역 내에서 영이 없더라도 특정 순서가 발생하지 않음을 보였다.