[논문 리뷰] Cheeger constant, $p$-Laplacian, and Gromov-Hausdorff convergence

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 43인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 리만다이언만의 하한을 가진 극한 공간에 대해 골모-하우스도르프 위상과 매개변수 $p$ 에 대해 $(\lambda_{1,p}(X))^{1/p}$ 의 연속성과 상부준연속성을 확립한다. 핵심 결과는 $p$ 에 독립적인 척도 불변 이중 추정 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $ 로, 티처와 부저의 부등식을 일반화하며 새로운 리히너비츠-오바타 유형 정리를 이끌어낸다.

ABSTRACT

We discuss the behavior of $(λ_{1. p}(M))^{1/p}$ with respect to the Gromov-Hausdorff topology and the variable $p$, where $λ_{1, p}(M)$ is the first positive eigenvalue of the $p$-Laplacian on a compact Riemannian manifold $M$. Applications include new estimates for the first eigenvalues of the $p$-Laplacian on Riemannian manifolds with lower Ricci curvature bounds, and isoperimetric inequalities on Gromov-Hausdorff limit spaces. We also establish a new Lichnerowicz-Obata type theorem.

연구 동기 및 목표

• 콤���한 측도 거리 공간에서 리치 곡률 하한이 있는 경우 $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ 의 골모-하우스도르프 수렴 하에서의 행동을 분석한다.
• 차원 $n$ 의 리만다이언만에서 직경과 리치 곡률 하한이 있는 공간의 골모-하우스도르프 컴actsification에서 매핑 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ 의 연속성과 상부준연속성을 확립한다.
• 리치 곡률 $ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 를 만족하는 다각형에서 $ p $-라플라시안의 첫 번째 고유값에 대한 새로운 척도 불변 추정을 유도한다.
• 리치 곡률 하한이 있는 다각형의 극한 공간에서 $ p $-라플라시안 고유값에 대한 새로운 리히너비츠-오바타 유형 정리를 증명한다.

제안 방법

• 콤팩트한 측도 거리 공간에서 민코프스키 외부 경계 측도를 통해 체저 상수 $ h(X) $ 를 정의한다.
• $ L^p $-정규화와 $ L^{p-2} $-수직성 조건 하에서 리프시츠 함수의 $ L^p $-세미노름의 하한으로서 $ p $-라플라시안 고유값 $ \lambda_{1,p}(X) $ 를 정의한다.
• $ p=1, 1<p<\infty, p=\infty $ 에 대해 각각 $ h(Y) $, $ (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $, $ 2/(\mathrm{diam}\,Y) $ 를 통합하는 함수 $ F((Y,\nu),p) $ 를 연구한다.
• 골모-하우스도르프 컴actsification $ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 에서의 수렴 추론과 $ \mathbf{S}^n $ 과 같은 모델 공간과의 비교를 통해 $ F $ 의 상부준연속성과 연속성을 증명한다.
• 비교 기하학과 구 위에서 고유함수의 반지름 대칭성을 활용하여, $ \mathbf{S}^n $ 에서 당겨진 테스트 함수를 통해 $ \lambda_{1,p}(X) $ 의 상한을 구한다.
• 함수 $ F $ 의 연속성을 응용하여 정량적 안정성 추정을 도출한다: 만약 어떤 $ q \geq p $ 에 대해 $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ 가 $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $ 에 가까운 경우, 모든 $ \hat{q} \geq p $ 에 대해 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ 는 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $ 와 균일하게 가까워지며, 오차는 함수 $ \Psi(\epsilon; n, p) $ 로 유계화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리치 곡률 하한이 있는 콤팩트 리만다이언만의 골모-하우스도르프 수렴 하에서 양 $ (\lambda_{1,p}(X))^{1/p} $ 는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 매핑 $ F((Y,\nu),p) = (\lambda_{1,p}(Y))^{1/p} $ 는 이러한 다각형의 골모-하우스도르프 컴actsification 에서 연속적이거나 상부준연속적인가?
• RQ3 리치 곡률과 직경 하한 조건 하에서 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ 에 대해 $ p $ 에 독립적인 척도 불변 이중 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $ p \to \infty $ 일 때 $ p $-라플라시안 고유값 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} $ 는 어떤 값으로 수렴하는가? 이는 직경과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $ F $ 의 연속성을 활용하여 서로 다른 $ p $-값 간의 고유값에 대한 정량적 안정성 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 $ F((Y,\nu),p) $ 는 $ \overline{M(n,K,d)} \times [1,\infty] $ 에서 상부준연속적이며, $ \overline{M(n,K,d)} \times (1,\infty] $ 에서 연속적이다. 이는 이전의 라플라시안 고유값 연속성 결과를 일반화한다.
• 모든 $ 1 < p < \infty $ 에 대해, $ \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 이고 $ (\mathrm{diam}\,M)^2 \mathrm{Ric}_M \geq K(n-1) $ 를 만족하는 $ n $ 차원 콤팩트 리만다이언만 $ M $ 에 대해 추정 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} \asymp h(M) \asymp (\mathrm{diam}\,M)^{-1} $ 가 성립하며, 이는 $ n $ 과 $ K $ 에만 의존하는 상수로 일관되게 유지된다.
• $ F $ 의 연속성은 다음과 같은 정량적 안정성 추정을 이끌어낸다: 만약 어떤 $ q \geq p $ 에 대해 $ (\lambda_{1,q}(M))^{1/q} $ 가 $ (\lambda_{1,q}(\mathbf{S}^n))^{1/q} $ 에 가까운 경우, 모든 $ \hat{q} \geq p $ 에 대해 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(M))^{1/\hat{q}} $ 는 $ (\lambda_{1,\hat{q}}(\mathbf{S}^n))^{1/\hat{q}} $ 와 균일하게 가까워지며, 오차는 함수 $ \Psi(\epsilon; n, p) $ 로 유계화된다.
• 논문은 새로운 리히너비츠-오바타 유형 정리를 증명한다: 어떤 $ p \in (1,\infty] $ 에 대해 $ (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $ 이면, $ M $ 은 표준 구 $ \mathbf{S}^n $ 과 등장사상이다.
• 결과는 곡률 하한이 있는 다각형의 극한 공간에서 $ \lim_{p \to \infty} (\lambda_{1,p}(M))^{1/p} = 2/\mathrm{diam}\,M $ 이라는 그로즈제안의 극한을 골모-하우스도르프 위상으로 확장하며, 그 안정성도 확립한다.
• 증명은 극한 공간에서 반지름 방향 테스트 함수를 구성하고, $ \mathbf{S}^n $ 의 고유함수와 비교함으로써 이루어지며, 콜딩의 체적 비교와 레비-그로모프 등면적 부등식을 통한 측도 비교를 활용한다.