[논문 리뷰] Cheeger Gromoll type metrics on the tangent bundle

Marian Ioan Munteanu|ArXiv.org|2006. 09. 30.

Geometry and complex manifoldsMathematics참고 문헌 20인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 $(M,g)$ 의 접다발 $T(M)$ 위에 체거-그로몰 계량을 일반화하는 일매개수 가족 $g_a$ 를 도입하며, $T(M)$ 는 호환 가능한 거의 복소 구조 $J_a$ 를 지니게 되어 국소적으로 동형적인 거의 켈러 다양체가 된다. 핵심 결과는 $T(M)$ 가 $g_a$ 와 함께 켈러이기 위한 조건이 $a(t)$ 가 특정한 상미분방정식을 만족해야 하며, 평탄성은 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1+\sqrt{1+2t})^2}$ 일 때 정확히 발생하며, 이때 $a_0$ 는 $a(0) = 1$ 이 되도록 선택된다. 이는 체거-그로몰 유형의 평탄한 계량을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we study a Riemanian metric on the tangent bundle $T(M)$ of a Riemannian manifold $M$ which generalizes the Cheeger Gromoll metric and a compatible almost complex structure which together with the metric confers to $T(M)$ a structure of locally conformal almost Kählerian manifold. We found conditions under which $T(M)$ is almost Kählerian, locally conformal Kählerian or Kählerian or when $T(M)$ has constant sectional curvature or constant scalar curvature.

연구 동기 및 목표

• 접다발 $T(M)$ 에서의 체거-그로몰 계량을 일매개수 가족 $g_a$ 를 통해 일반화한다.
• 호환 가능한 거의 복소 구조 $J_a$ 를 정의하고, $T(M)$ 에서의 결과적인 거의 허미트 구조를 연구한다.
• $(T(M), g_a, J_a)$ 가 거의 켈러이거나 국소적으로 동형적인 켈러이거나 켈러일 조건을 규명한다.
• $T(M)$ 가 $g_a$ 를 지닐 때 일정한 섹션 곡률 또는 일정한 스칼라 곡률을 가질 수 있는지 조사한다.
• $a(t)$ 에 대한 상미분방정식을 풀어 $T(M)$ 에서 체거-그로몰 유형의 평탄한 계량을 유도한다.

제안 방법

• 접다발 $T(M)$ 에 일매개수 가족의 리만 계량 $g_a$ 를 정의하며, 이는 수직 계량 성분을 함수 $a(t)$ 를 통해 수정함으로써 체거-그로몰 계량을 일반화한다. 여기서 $t = \frac{1}{2}g(\mathtt{u}, \mathtt{u})$ 이다.
• 수평 및 수직 이행을 이용해 $T(M)$ 의 접벡터에 대해 호환 가능한 거의 복소 구조 $J_a$ 를 구성하며, 이는 $g_a$ 와 호환되도록 보장한다.
• 다른 정규직교 기저 $\{E_i\}$ 를 사용해 $T_{(p,\mathtt{u})}T(M)$ 에서의 섹션 곡률 $\tilde{K}^a$ 를 계산한다.
• 곡률 텐서 $R$ 와 함수 $a(t)$ 를 포함한 수평, 수직, 혼합 평면에 대한 섹션 곡률 $\tilde{K}^a(U,V)$ 의 명시적 공식을 유도한다.
• $(T(M), g_a)$ 의 스칼라 곡률 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$ 를 $M$ 의 스칼라 곡률과 $R_{e_i e_j} \mathtt{u}$ 를 포함한 곡률 수축으로 표현한다.
• 상미분방정식 $\frac{a'(t)}{a(t)} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + 2t}}$ 을 풀어 명시적 해 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ 를 도출하며, 이때 $a_0$ 는 $a(0) = 1$ 이 되도록 정규화되어 평탄한 계량을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양체 $(T(M), g_a, J_a)$ 가 거의 켈러이거나 국소적으로 동형적인 켈러이거나 켈러일 조건은 무엇인가?
• RQ2 $T(M)$ 가 계량 $g_a$ 를 지닐 때 일정한 섹션 곡률을 가질 수 있으며, 만약 그렇다면 $a(t)$ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $M$ 이 실수 공간형일 때, $T(M)$ 가 $g_a$ 를 지닐 경우 일정한 스칼라 곡률을 가질 수 있는 함수 $a(t)$ 는 무엇인가?
• RQ4 비자명한 $a(t)$ 가 존재하여 $(T(M), g_a)$ 가 평탄한가?
• RQ5 어떤 형태의 계량 $g_a$ 가 $T(M)$ 를 평탄하게 만들며, 이에 대응하는 $a(t)$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 다양체 $(T(M), g_a)$ 가 켈러이기 위한 조건은 $a(t)$ 가 특정한 상미분방정식을 만족해야 하며, 이러한 $a(t)$ 는 존재하지 않아, $T(M)$ 에서 체거-그로몰 유형의 계량이 켈러 다양체를 유도하지 못함을 증명한다.
• 평탄한 계량의 체거-그로몰 유형이 $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ 일 때 존재하며, 이때 $a_0$ 는 $a(0) = 1$ 이 되도록 정규화되어 $T(M)$ 에 평탄한 계량 $g_1$ 을 제공한다.
• $(T(M), g_a)$ 의 스칼라 곡률 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$ 는 $M$ 의 스칼라 곡률, 곡률 수축 $|R_{e_i e_j} \mathtt{u}|^2$, 그리고 $F_2(t)$, $F_3(t)$, $a(t)$ 에 의존하는 공식으로 주어지며, $m = \dim M$ 에 명시적인 의존성이 있다.
• $M$ 이 일정한 섹션 곡률 $c$ 를 지닌 실수 공간형일 경우, $T(M)$ 가 $g_a$ 를 지닐 때 일정한 스칼라 곡률을 가지기 위한 조건은 $a(t)$, $a'(t)$, $a''(t)$ 를 포함하는 복잡한 상미분방정식이 되며, 이는 초월함수로 표현된다.
• $T(M)$ 의 섹션 곡률 $\tilde{K}^a$ 는 $M$ 의 곡률 텐서로 명시적으로 계산되며, 이는 $a(t)$, $R_{e_i e_j} \mathtt{u}$, $R_{\mathtt{u} e_k} e_i$ 에 의존하여 일반적으로 일정하지 않음을 보여준다.
• $a(t) = \frac{4e^{2(\sqrt{1+2t} - 1)}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ 로 정의된 계량 $g_1$ 은 평탄한 접다발 $T(M)$ 를 제공하며, 체거-그로몰 유형의 비자명한 평탄한 계량의 존재를 확인한다.