[논문 리뷰] Cherednik algebras for algebraic curves

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|ArXiv.org|2007. 04. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 양자 해밀토니안 축소를 통해 대수적 곡선에 대해 전역 체레드니크 대수를 구성하며, Quot 스킴 곱의 특성 D-모듈에서 체레드니크 대수의 O 범주로의 함자를 수립한다. 핵심 결과는 구면 삼각함수 체레드니크 대수의 유한차원 기약 모듈과 단순 특성 D-모듈 간의 일대일 대응을 보이며, 이를 통해 루슈티그의 특성 층을 전역 기하학적 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

For any smooth algebraic curve C, Pavel Etingof introduced a `global' Cherednik algebra as a natural deformation of the cross product of the algebra of differential operators on C^n and the symmetric group. We provide a construction of the global Cherednik algebra in terms of quantumn Hamiltonian reduction. We study a category of character D-modules on a representation scheme associated to C and define a Hamiltonian reduction functor from that category to category O for the global Cherednik algebra. In the special case where the curve C is the multiplicative group, the global Cherednik algebra reduces to the trigonometric Cherednik algebra of type A, and our character D-modules become holonomic D-modules on GL_n imes C^n. The corresponding perverse sheaves are reminiscent of (and include as special cases) Lusztig's character sheaves.

연구 동기 및 목표

• 대수적 곡선과 관련된 전역 체레드니크 대수의 양자 해밀토니안 축소 구성.
• 유한성 조건을 만족하는 특성 D-모듈을 Quot 스킴 곱에서 정의하고 연구하며, 루슈티그의 특성 층을 일반화한다.
• 구면 삼각함수 체레드니크 대수의 유한차원 기약 모듈과 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 위의 단순 특성 $\mathscr{D}$-모듈 간의 대응을 수립한다.
• 대수적 곡선과 표현 스킴을 이용하여 특성 층 이론을 전역 설정으로 확장한다.

제안 방법

• 전역 체레드니크 대수 $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$ 는 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 상의 왜곡된 미분 연산자층의 양자 해밀토니안 축소로 구성된다.
• 해밀토니안 축소 함자 $\mathbb{H}$ 는 $\mathscr{D}_{n\kappa,\psi}(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$-모듈의 범주에서 $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$-모듈의 범주로 정의된다.
• 특성 D-모듈은 $\mathscr{D}$-모듈로서 그 특이 지지가 전역 영점 라그랑주 부분다양체 $\mathbb{M}_{\text{nil}} \subset T^*(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$ 에 포함되는 것으로 정의된다.
• 표현 스킴 곱 위에서 $GL_n$ 의 작용이 유한한 궤도를 가지므로, 단순성과 특이 지지 분석이 가능하다.
• 모듈 간의 대응은 리만-힐베르트 대응과 $GL_n$-궤도 위의 국소체의 최소 확장을 통한 성질을 통해 수립된다.
• 증명은 유일한 열린 $GL_n$-궤도 $\mathbb{O}_0$ 가 기본군 $\mathbb{Z}$ 를 가지며, 단순성 조건이 기약성을 보장하는 단위근 조건을 유도함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 곡선에 대해 양자 해밀토니안 축소를 이용해 전역 체레드니크 대수를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 특성 D-모듈이 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 에서 영점 특이 지지를 가지는 기하학적 및 표현론적 의미는 무엇인가?
• RQ3 이러한 특성 D-모듈은 구면 삼각함수 체레드니크 대수의 유한차원 표현과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 모듈은 전역 기하학적 설정에서 루슈티그의 특성 층을 어느 정도 일반화하는가?
• RQ5 해밀토니안 축소 함자가 유한차원 모듈을 유도하기 위해 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 구면 체레드니크 대수 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$ 는 $SL_n \times \mathbb{P}^{n-1}$ 상의 특성 D-모듈에 해밀토니안 축소 함자를 적용한 결과로 나타난다.
• 유한차원 기약 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-모듈은 정확히 $n \mid (c - p)$ 이고 $c$ 가 $n$ 과 서로소일 때 형태 $z \mathcal{L}_{p,c}$ 의 단순 특성 $\mathscr{D}$-모듈과 일치한다.
• 특성 $\mathscr{D}$-모듈의 특이 지지는 라그랑주 부분다양체 $\mathbb{M}_{\text{nil}}$ 에 포함되며, 이는 $\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n$ 의 영점 콘에 대한 $GL_n$-작용에 의해 유도된다.
• $GL_n$-모노드로미컬한 국소체의 최소 확장이 $\mathbb{O}_0 \subset SL_n \times V^\circ$ 위에서 특성 $\mathscr{D}$-모듈이 되는 것은 단지 그 모노드로미가 $n$차 단위근이면서 원시일 때이다.
• $\mathbb{H}$ 해밀토니안 축소 함자는 정확하고, $\kappa = c/n$ 일 때, 유한차원 기약 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-모듈과 $n \mid (c - p)$, $\gcd(c,n) = 1$ 를 만족하는 단순 특성 $\mathscr{D}$-모듈 간의 일대일 대응을 유도한다.
• 이 대응은 리만-힐베르트 대응과 호환되며, 특성 $\mathscr{D}$-모듈과 관련된 페르소브 층은 $GL_n$-대각 궤도를 따라 국소적으로 상수이며, 특성 다양체는 영점이다.