[논문 리뷰] Chern characters in equivariant basic cohomology

Wenran Liu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만 포일로션에 대한 군 작용을 고려한 등급형 기본 코homology에서 초점의 이론을 개발하며, 주요 다발과 접속을 통해 등급형 기본 초점의 기하적 실현을 확립한다. 등급형 기본 초점의 등급형 기본 초점이 등급형 주요 다발의 초점으로서 기하학적으로 실현됨을 증명하며, 아티야-싱어 지수 이론을 군 작용이 있는 포일로션 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold. The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold. The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.

연구 동기 및 목표

• 전방향 타원형 작용소의 기본 지수에 대한 코homological 공식을 개발하여 아티야-싱어 지수 이론을 군 작용이 있는 리만 포일로션으로 확장한다.
• 리만 포일로션과 리 군 작용의 맥락에서 등급형 기본 코homology와 초점을 정의하고 연구한다.
• 주요 다발과 기본 접속을 사용하여 등급형 기본 초점의 기하학적 실현을 구축한다.
• 몰리노 층, 호로노미 군oids, 그리고 포일로션 설정에서의 불변 구조 존재 간의 연관성을 확립한다.
• 포일로션과 리만 계량을 보존하는 작용에 대해 기본 코homology에 대한 등급형 초점 이론을 일반화한다.

제안 방법

• 리 군 $\frak{g}$-미분 대수와 $\frak{g}$-등급형 기본 코homology의 프레임워크를 사용하여 등급형 기본 초점을 정의한다.
• 리만 포일로션의 몰리노 층 이론과 호로노미 군오이드를 적용하여 기본 미분형식의 구조를 분석한다.
• 호로노미 군오이드와 프레임 다발 위의 작용의 올림을 이용하여 기본 다각형 $W$ 위의 주요 $SO(q)$-다발 $\tilde{W} \to W$를 구성한다.
• 리 대수 $\tilde{\frak{a}}$의 올림된 작용에 대해 불변인 기본 접속 $\nabla^{{\tilde{W}}}$를 구현한다.
• 초점-웨일 동형사를 사용하여 $\tilde{W}$의 기본 접속의 곡률에 특성류를 부여하며, 이로써 등급형 기본 초점의 기하학적 실현을 도출한다.
• 부록에서 확립된 lin, 기본 접속의 존재성과 포일로션 위의 리만 계량의 존재성 간의 등가성을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 포일로션에서 전방향 타원형 작용소의 등급형 기본 초점은 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 기본 다발 위의 $\tilde{\frak{a}}$-불변 기본 접속이 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 몰리노 층과 호로노미 군오이드는 등급형 기본 코homology의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 기본 벡터 다발의 초점은 등급형 구조를 가진 주요 다발의 초점으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 포일로션 다각형의 등급형 기본 코homology와 올림된 군 작용에 대한 기본 다각형의 코homology 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 기본 다각형 $\widetilde{M}$ 위의 기본 벡터 다발 $\widetilde{E}$에 대한 등급형 기본 초점 ${\mathrm{Ch}}_{\tilde{\frak{a}} \times so(q)}(\widetilde{E},{\mathcal{F}}_{\widetilde{E}})$ 는 $W$ 위의 $\tilde{\frak{a}} \times SO(q)$-등급형 주요 다발에 대한 기하학적 실현으로서의 초점으로서 실현된다.
• 기본 다발 $\widetilde{W} \to W$ 위의 기본 접속 존재성은 부록 C에서 보여진 lin, 포일로션 위의 리만 계량 존재성과 등가이다.
• 기본 접속 $\nabla^{\widetilde{W}}$ 는 $\tilde{\frak{a}}$-불변이므로 군 작용과 호환되며, 등급형 특성류의 구축을 가능하게 한다.
• 기본 디랙 작용소의 초점은 올림된 주요 다발 위에서의 초점-웨일 구성에 의해 계산되며, 이는 기본 지수에 대한 코homological 공식을 제공한다.
• 이 이론은 기본 접속의 곡률을 통해 등급형 기본 초점의 기하학적 실현을 확립하며, 위상적 불변량과 기하학적 자료를 연결한다.
• 논문은 기본 다각형의 몰리노 층에 대한 기본 코homology가 등급형 구조에 대한 필수 정보를 포괄하며, 필요한 특성류의 구축을 가능하게 함을 증명한다.