[논문 리뷰] Chern classes and Gromov--Witten theory of projective bundles

Honglu Fan|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 사영다양체 $S$ 위의 프로젝티브 범주 $\mathbb{P}(V)$ 의 고로모프-위튼 이론이 기저 $S$ 의 고로모프-위튼 불변량과 벡터(bundle) $V$ 의 총 콜린 클래스 $c(V)$ 에 의해 완전히 결정됨을 확립한다. $V$ 를 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 로 콪actification 하여 메이스터 스페이스를 구성하고, 가상 국소화를 적용함으로써, $S$ 와 $c(V)$ 의 불변량으로부터 $\mathbb{P}(V)$ 의 모든 불변량을 계산하는 보편 공식을 유도한다. 이는 고로모프-위튼 이론 분야에서 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We prove that the Gromov--Witten theory (GWT) of a projective bundle can be determined by the Chern classes and the GWT of the base. It completely answers a question raised in a previous paper (arXiv:1607.00740). Its consequences include that the GWT of the blow-up of X at a smooth subvariety Z is uniquely determined by GWT of X, Z plus some topological data.

연구 동기 및 목표

• 기존 연구에서 제기된 질문, 즉 프로젝티브 범주 $\mathbb{P}(V)$ 의 고로모프-위튼 불변량이 기저 $S$ 와 벡터(bundle) $V$ 의 총 콜린 클래스 $c(V)$ 에 의해 유일하게 결정되는지 여부를 해결하기 위해.
• 벡터(bundle) $V$ 가 분할 가능하거나 토르스 작용을 갖지 않아도 되는 일반적인 방법을 개발하여, $\mathbb{P}(V)$ 의 고로모프-위튼 불변량을 계산하기 위해.
• 블로우업 공식을 고로모프-위튼 이론에서 개선하기 위해, 예외적 부분다양체의 불변량에 대한 입력 데이터를 제거함으로써.
• 프로젝티브 범주 구성에 대한 고로모프-위튼 이론의 함자성에 대한 보편 원칙을 수립하기 위해.

제안 방법

• 벡터(bundle) $V$ 를 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 로 콩팩티피케이션하여 $\mathbb{C}^*$-작용이 가능하도록 메이스터 스페이스 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O}), \beta)$ 를 구성한다.
• $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 로의 안정화 맵의 모듈리 공간에 가상 국소화를 적용하여, 가상 차원보다 낮은 차수의 코homology 클래스를 통합함으로써, $S$ 와 $\mathbb{P}(V)$ 의 불변량 간의 관계를 도출한다.
• 유도된 관계를 바탕으로, $S$ 와 $V$ 의 콜린 클래스로부터 $\mathbb{P}(V)$ 의 모든 고로모프-위튼 불변량을 재귀적으로 결정한다.
• $c(V_1) = c(V_2)$ 일 때, $\mathbb{P}(V_1)$ 과 $\mathbb{P}(V_2)$ 의 코homology 및 곡선 클래스 군을 식별하는 자연스러운 동형사상 $\mathfrak{F}$ 와 $\Psi$ 를 정의하여, 콜린 클래스 동치에 대한 불변성 보장.
• 열림 공식과 정규 쌍방향으로의 변형을 활용하여 결과를 블로우업으로 확장함으로써, $\tilde{Y}$ 의 불변량이 $Y$, $Z$, 및 $c(N_{Z/Y})$ 의 불변량에 의해 결정됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝티브 범주 $\mathbb{P}(V)$ 의 고로모프-위튼 이론이 기저 $S$ 와 총 콜린 클래스 $c(V)$ 의 고로모프-위튼 불변량에 의해 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 벡터(bundle)가 분할 가능하지 않은 경우에도, 콜린 클래스 동치에 대한 고로모프-위튼 불변량의 불변성이 모든 계수에서 성립하는가?
• RQ3 고로모프-위튼 이론의 블로우업 공식에서, 예외적 부분다양체의 불변량에 대한 입력 데이터가 제거될 수 있는가?
• RQ4 프로젝티브 범주 구성에 대한 고로모프-위튼 이론의 함자성에 대한 보편 원칙이 존재하는가?

주요 결과

• $\mathbb{P}(V)$ 의 고로모프-위튼 불변량은 $V$ 의 분할 유형에 관계없이 기저 $S$ 의 고로모프-위튼 불변량과 총 콜린 클래스 $c(V)$ 에 의해 완전히 결정된다.
• $c(V_1) = c(V_2)$ 일 때, 자연스러운 동형사상 $\mathfrak{F}$ 와 $\Psi$ 를 통해 $\mathbb{P}(V_1)$ 와 $\mathbb{P}(V_2)$ 의 고로모프-위튼 불변량이 코homology 및 곡선 클래스에서 동형임을 보장한다.
• 이 결과는 $Y$ 의 매끄러운 부분다양체 $Z$ 에 대해 블로우업 $\tilde{Y}$ 의 고로모프-위튼 이론이 $Y$ 와 $Z$ 의 고로모프-위튼 불변량, 그리고 $c_i(N_{Z/Y})$ 와 그 코homological pull-back 구조에 의해 유일하게 결정됨을 시사한다.
• 이전의 블로우업 공식에서 예외적 부분다양체 $\mathbb{P}(N_{Z/Y} \oplus \mathcal{O})$ 의 불변량에 대한 입력 요구사항은 이제 불필요하다. 이는 $c(N_{Z/Y})$ 와 $Z$ 의 불변량에 의해 이미 결정되기 때문이다.
• 메이스터 스페이스 $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ 와 가상 국소화를 통한 방법은, 에퀴바리언트 국소화나 분할 가정에 의존하지 않고도 불변량을 통일적으로 계산할 수 있게 한다.