[논문 리뷰] Chern classes for representations of reductive groups

Arnaud Beauville|ArXiv.org|2001. 04. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 군 G의 유리수 계수의 표현 링과 그 리 대수 위의 불변 다항함수 링 사이의 표준적 동형사상을 수립하며, 표현의 체인 클래스가 1 + Lρ의 행렬식과 관련되고, 체인 특성은 exp(Lρ)의 트레이스와 관련됨을 보여주며, 특성 클래스를 코homology를 사용하지 않고 순수하게 대수적 방법으로 관련 벡터 번들의 특성 클래스를 불변 다항식을 통해 계산할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Let G be a complex connected reductive group. The representation ring R(G) admits a canonical filtration defined in terms of the lambda-structure. We compute the associated graded ring gr R(G) (over Q) and the Chern classes of a representation -- an easy exercise which we have been unable to find in the literature. As an application we give a simple definition of the characteristic classes of a principal bundle P --> B in gr K(B), and a simple way of computing the Chern classes of the associated vector bundles.

연구 동기 및 목표

• 재수정된 군의 표현에 대해 코homology나 차우 링을 참고하지 않는 순수한 대수적 정의를 제공하는 것.
• 재수정된 군 G의 유리수 계수의 표현 링 R(G)와 그 리 대수 g 위의 불변 다항함수 링 사이의 표준적 동형사상을 수립하는 것.
• 표현의 체인 클래스와 체인 특성이 각각 det(1 + Lρ)와 Tr(exp(Lρ))로 주어짐을 보여주는 것. 여기서 Lρ는 리 대수 표현이다.
• 결과를 주로 G-접속 번들의 경우에 적용하여 기저 공간의 계수 K-이론에 특성 클래스를 정의하는 것.

제안 방법

• 표현 링 R(G) 위의 λ-환의 구조를 사용하며, λ-작용은 표현의 겉셈의 외적 힘에 의해 유도된다.
• 그로텐디크의 γ-필터링과 γp(x − ε(x))를 통한 체인 클래스 구성법을 적용한다.
• 최대 토루스 T에 대해 R(T)가 분리된 λ-환임을 이용하여 γ-필터링의 명시적 계산이 가능함을 활용한다.
• R(G) 위의 γ-필터링이 Weyl 군의 불변성과 γ-필터링에서 애덤스 작용의 행동을 통해 R(T)의 γ-필터링으로부터 유도됨을 보여준다.
• 카르탕 부분대수 h로의 제한을 통해 Pol(g)^inv와 계수 표현 링 사이의 동형사상을 이용한다.
• 주로 G-접속 번들 P가 기저 B 위에 있을 때, Pol(g)^inv → gr_Q K(B)의 특성 호모모르피즘 c_P를 적용하여 불변 다항함수를 기저 공간의 계수 K-이론의 특성 클래스로 매핑한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재수정된 군의 표현에 대해 코homology나 차우 링을 참고하지 않고 체인 클래스를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 재수정된 군 G에 대해 계수 표현 링 gr_Q R(G)의 정확한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 표현 ρ ∈ R(G)의 체인 클래스와 체인 특성이 리 대수 표현 Lρ와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 관련된 벡터 번들의 특성 클래스를 리 대수 위의 불변 다항식에서 대수적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 주로 G-접속 번들 P의 특성 클래스와 관련된 벡터 번들 P^ρ의 체인 클래스 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 유리수 계수 표현 링 gr_Q R(G)는 리 대수 위의 불변 다항함수 링 Pol(g)^inv와 표준적으로 동형이다.
• 표현 ρ의 총 체인 클래스 c(ρ)는 g 위의 불변 다항함수로서 det(1 + Lρ)와 같다.
• 체인 특성 ch(ρ)는 g 위의 불변 다항함수 링에서 Tr(exp(Lρ))와 같다.
• 기저 공간 B 위에 주로 G-접속 번들 P가 있을 때, gr_Q K(B)에 속하는 특성 클래스 c_P^{(i)}는 리 대수 표현에 대한 불변 다항함수 I_i의 평가를 통해 얻어진다.
• 관련된 벡터 번들 P^ρ의 총 체인 클래스는 F(c_P^{(1)}, ..., c_P^{(ℓ)})이며, 여기서 F는 det(1 + Lρ) = F(I_1, ..., I_ℓ)를 만족하는 다항함수이다.
• 직교군과 심플렉틱군의 경우, c_P^{(p)}는 c_{2p}(E_P)와 대응하며, SO(2ℓ)의 경우 마지막 클래스 c_P^{(ℓ)}는 (c_P^{(ℓ)})^2 = c_{2ℓ}(E_P)를 만족한다.