[논문 리뷰] Chern classes from Morava K-theories to $p^n$-typical oriented theories

Pavel Sechin|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $K(n)^*$에서 임의의 $p^n$-형식의 순서화된 코homology 이론으로의 체른 클래스를 구성하며, 계수 환자가 자유 $ olimits_{(p)}$-모듈로일 경우 그들이 작용을 자유롭게 생성함을 증명한다. 주요 기여는 고전적 K-이론의 필터링을 모방하는 $K(n)^*$에 대한 감마 필터링을 도입한 것으로, 체른 클래스가 차원까지 $p^n$까지의 색체군으로부터 전사가 되며, 이는 프로젝티브 호모제너스 다양체의 색체군에서 토르션 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study non-additive operations from algebraic Morava K-theories to oriented cohomology theories in algebraic geometry. For oriented cohomology theory $A$ that has a {$p^n$}-typical formal group law over a $\mathbb{Z}_{(p)}$-algebra we construct `Chern classes' from the algebraic $n$-th Morava K-theory with $p$-local coefficients to $A$. If the coefficient ring of $A$ is a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module we also prove that these Chern classes freely generate all operations from $\mathrm{K}(n)$ to $A$. Examples of such theories are algebraic Morava K-theories $\mathrm{K}(nm)^*$ for all $m\in\mathbb{N}$ and Chow groups with $p$-local coefficients. The universal $p^n$-typical oriented theory is $BP\{n\}^*$ whose coefficient ring is also a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module. Chern classes from the $n$-th algebraic Morava K-theory $\mathrm{K}(n)$ to itself allow us to introduce the gamma filtration on $\mathrm{K}(n)$. This is the best approximation to the topological filtration obtained by values of operations and it satisfies properties similar to that of the classical gamma filtration on $\mathrm{K}_0$. The major difference from the classical case is that Chern classes from the graded factors $gr^i_γ\mathrm{K}(n)^*$ to Chow groups with p-local coefficients are surjective for $i\le p^n$, which allows to estimate $p$-torsion in Chow groups of codimension up to $p^n$ of some varieties.

연구 동기 및 목표

• 체르니코프의 $p^n$-형식의 형식적 군 법칙을 $\mathbb{Z}_{(p)}$-대수로 일반화하고, $p^n$-형식의 순서화된 코homology 이론을 정의한다.
• $n$-번째 대수적 모라바 K-이론 $K(n)^*$에서 임의의 $p^n$-형식의 순서화된 이론으로 체른 클래스를 구성한다.
• 계수 환자가 자유 $ olimits_{(p)}$-모듈로일 경우 이러한 체른 클래스가 작용의 링을 자유롭게 생성함을 보인다.
• $K(n)^*$에 감마 필터링을 정의하여 체른 클래스를 통한 위상적 필터링 근사로 삼는다.
• 감마 필터링의 계수 군에서 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$로의 체른 클래스 사상이 $i \leq p^n$일 때 전사임을 확립하며, 이는 색체군에서의 토르션 추정을 가능하게 한다.

제안 방법

• $\mathbb{Z}_{(p)}$-대수에서의 $p^n$-형식의 형식적 군 법칙을 도입하여 고전적 $p$-형식성의 일반화를 시도한다.
• 관련된 형식적 군 법칙을 통해 $p^n$-형식의 순서화된 코homology 이론을 정의한다.
• 유일성 성질과 랜드베르 유형의 체계를 사용하여 $K(n)^*$에서 임의의 $p^n$-형식 이론으로의 체른 클래스를 구성한다.
• 계수 환자가 자유 $ olimits_{(p)}$-모듈로일 경우 이러한 체른 클래스가 작용의 링을 자유롭게 생성함을 증명한다.
• $K(n)^*$에 감마 필터링을 정의하며, 이는 $K(n)^*$에서 자신으로의 체른 클래스 이미지에 의해 유도되는 필터링이다.
• 비쇼크의 덧셈 작용 분류와 $p$-진 값매기기 분석을 사용하여 체른 클래스의 이미지를 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 $p^n$-형식의 순서화된 코homology 이론으로부터 $K(n)^*$에서 체른 클래스를 구성할 수 있으며, 계수 환자가 자유 $ olimits_{(p)}$-모듈로일 경우 그들이 작용을 자유롭게 생성하는가?
• RQ2 $K(n)^*$에 정의된 감마 필터링은 고전적 $K_0$의 감마 필터링과 어떻게 비교되며, 어떤 성질을 만족하는가?
• RQ3 $K(n)^*$의 감마 필터링 계수 군에서 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$로의 체른 클래스 사상의 이미지는 무엇인가?
• RQ4 어느 차원 $i$에 대해 체른 클래스 사상 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$가 전사인가?
• RQ5 이러한 체른 클래스의 구조를 이용하여 프로젝티브 호모제너스 다양체의 색체군에서 차원까지 $p^n$까지의 $p$-토르션을 추정할 수 있는가?

주요 결과

• $K(n)^*$에서 임의의 $p^n$-형식의 순서화된 이론으로의 체른 클래스가 구성되었으며, 계수 환자가 자유 $ olimits_{(p)}$-모듈로일 경우 그들이 작용의 링을 자유롭게 생성한다.
• $K(n)^*$에 대한 감마 필터링은 $K(n)^*$에서 자신으로의 체른 클래스 이미지에 의해 정의되며, 위상적 필터링 근사로 기능한다.
• $i \leq p^n$일 때, 체른 클래스 사상 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$는 전사이다.
• $gr^i_\gamma K(n)^*$에서 $i$-번째 체른 클래스의 이미지는 $b_i \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$이며, 여기서 $b_i \in p^{\mathbb{N}}$이다.
• $i = kp^n + j$이고 $1 \leq j \leq p^n$일 경우, 이미지는 $p^k \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$가 되며, 이는 정확한 $p$-진 값매기기의 구조를 보여준다.
• 이 결과들은 프로젝티브 호모제너스 다양체의 색체군에서 차원까지 $p^n$까지의 $p$-토르션 추정을 가능하게 한다.