[논문 리뷰] Chern classes of proalgebraic varieties and motivic measures

Shoji Yokura|ArXiv.org|2004. 07. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 프로구성적 함수와 χ-안정 프로구성적 함수를 정의하여, 무한차원 설정으로의 모티브 측도와 적분을 확장함으로써, 프로대수기하학적 다양체에 대한 Chern–Schwartz–MacPherson 클래스를 도입한다. 이는 프로대수기하학적 다양체 위에서의 모티브 적분을 위한 프레임워크를 수립하며, 특이점의 해소들의 프로젝티브 극한으로서의 프로해소를 정의한다.

ABSTRACT

Michael Gromov has recently initiated what he calls ``symbolic algebraic geometry", in which objects are proalgebraic varieties: a proalgebraic variety is by definition the projective limit of a projective system of algebraic varieties. In this paper we construct Chern--Schwartz--MacPherson classes of proalgebraic varieties, by introducing the notion of ``proconstructible functions " and "$χ$-stable proconstructible functions" and using the Fulton-MacPherson's Bivariant Theory. As a "motivic" version of a $χ$-stable proconstructible function, $\Ga$-stable constructible functions are introduced. This construction naturally generalizes the so-called motivic measure and motivic integration. For the Nash arc space $\Cal L(X)$ of an algebraic variety $X$, the proconstructible set is equivalent to the so-called cylinder set or constructible set in the arc space.

연구 동기 및 목표

• 프로대수기하학적 다양체에 대한 Chern–Schwartz–MacPherson 클래스를 정의하는 것.
• 프로구성적 함수를 통한 무한차원 설정으로의 모티브 측도와 모티브 적분의 일반화.
• 모티브 적분을 위한 기초로 삼기 위해 χ-안정 및 Γ-안정 프로구성적 함수의 개념을 도입하는 것.
• 특이점의 해소들의 모든 프로젝티브 극한으로서의 프로해소를 정의하는 것.
• 특이점의 다양체와 그 프로해소 사이의 관계를 탐구하는 것.

제안 방법

• 프로대수기하학적 다양체 위의 함수로서, 그 섬유들이 역극한 내의 구성집합인 프로구성적 함수를 도입한다.
• 극한에서 올바르게 정의된 올리고메트릭 특성수를 갖는 함수로 χ-안정 프로구성적 함수를 정의한다.
• Fulton–MacPherson의 이양 이론을 적용하여, 프로대수기하학적 다양체에 대한 Chern–Schwartz–MacPherson 클래스를 구성한다.
• Grothendieck 다양체의 링을 적분의 타깃으로 삼아, Γ-안정 프로구성적 함수를 통한 모티브 적분을 도입한다.
• 특이점의 다양체의 모든 해소들의 프로젝티브 극한으로서의 프로해소를, 방향 집합에 따라 인덱싱하여 구성한다.
• 사상의 가환 다이어그램을 사용하여, 나시 호의 공간과 프로해소 사이의 자연스러운 사상들을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 프로대수기하학적 다양체에 대해 Chern–Schwartz–MacPherson 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 χ-안정 프로구성적 함수는 무한차원 다양체 위에서 모티브 측도를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 특이점의 다양체의 프로해소에서 그 나시 호의 공간으로의 자연스러운 사상이 존재하는가?
• RQ4 Γ-안정 함수를 사용하여 모티브 적분이 어떻게 프로대수기하학적 다양체로 확장되는가?
• RQ5 프로해소는 프로대수기하학적 다양체의 범주에서 보편적 해소로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• χ-안정 프로구성적 함수를 통한 프로대수기하학적 다양체의 Chern–Schwartz–MacPherson 클래스는 고전 이론을 일반화하며 잘 정의되어 있다.
• 예를 들어 $X^{bN}$와 같은 프로대수기하학적 다양체의 올리고메트릭 특성수는 $\chi(X)$로 주어지며, 고전적 개념을 무한곱으로 확장한다.
• 모티브 적분은 Grothendieck 링 $K_0(\Cal{V}_{\bb{C}})$ 값을 갖는 Γ-안정 프로구성적 함수를 통해 프로대수기하학적 다양체 위에서 정의된다.
• 프로해소 $\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$ 는 다양체 $X$ 의 모든 특이점의 해소들의 프로젝티브 극한으로서 구성되며, 방향 집합을 형성한다.
• 나시 호의 공간 $\Cal{L}(X)$ 는 $X$ 에서의 비정칙 부분집합과 호환되는, 프로해소 $\widetilde{X}^{\operatorname{pro}}$ 로의 자연스러운 사상이 존재한다.
• 이 구성은 모티브 측도를 일반화하며, 기호 대수기하학에서 특성류를 연구하기 위한 프레임워크를 제공한다.