[논문 리뷰] Chern-Mather classes of toric varieties

Ragni Piene|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 토릭 다양체의 초전기-마이터 클래스에 대한 공식을 그의 토르스 궤도와 각 궤도의 일반점에서의 국소 오일러 비율을 통해 수립한다. 찬-슈와츠-맥필슨 클래스 공식과 쌍대 이론을 이용하여, 매츠이와 타케우치가 토릭 초곡면의 쌍대 다양체의 차수에 대해 유도한 결과를 일반화하고, 이를 위한 다른 증명을 제시한다.

ABSTRACT

The purpose of this short note is to prove a formula for the Chern-Mather classes of a toric variety in terms of its orbits and the local Euler obstructions at general points of each orbit (Theorem 2). We use the general definition of the Chern-Schwartz-MacPherson classes (see [7]) and their special expression in case of a toric variety (see [2]). As a corollary, we obtain a formula by Matsui-Takeuchi [8, Corollary 1.6]. Alternatively, one could deduce the formula of Theorem 2 from the Matsui-Takeuchi formula, by using our general result [11, Theoreme 3] for the degree of the polar varieties in terms of the Chern-Mather classes.

연구 동기 및 목표

• 토릭 다양체의 초전기-마이터 클래스에 대해 궤도 분해와 국소 오일러 비율을 이용한 닫힌 형태의 표현식을 유도하는 것.
• 매츠이-타케우치의 토릭 초곡면의 쌍대 다양체의 차수에 대한 공식에 대해 다른 증명을 제공하는 것.
• 토릭 기하학의 맥락에서 펄라르 다양체 이론과 초전기-마이터 클래스 이론을 통합하는 것.
• 궤도 분해를 통해 초전기-슈와츠-맥필슨 클래스 이론의 적용 범위를 비정규 토릭 다양체로 확장하는 것.

제안 방법

• 나시 변환과 접선 공간의 그라스만이랑의 이중화 선다발과 타우토로지컬 배럴을 통한 초전기-마이터 클래스의 정의를 이용한다.
• 국소 오일러 비율을 통한 사이클과 분해 가능 함수 사이의 동형을 적용하여, $ T^{-1}(\mathbf{1}_X) $ 를 궤도에 대한 합으로 정의하며, 계수는 오일러 비율을 포함한다.
• 토릭 다양체의 초전기-슈와츠-맥필슨 클래스에 대해 알려진 공식 $ c^{\operatorname{MP}}(X) = \sum_{\alpha} [\overline{X}_{\alpha}] $ 을 활용한다.
• 차원에 대한 귀납법을 적용하여, $ \overline{X}_\alpha $ 의 닫힘 안의 궤도들에 따라 $ c^M(\overline{X}_\alpha) $ 를 재귀적으로 표현한다.
• 논문 [MR1074588] 에서의 펄라르 클래스 공식을 적용하여 초전기-마이터 클래스와 펄라르 다양체의 차수 사이의 관계를 규명한다.
• 쌍대 다양체의 차수 $ \deg X^\vee $ 를 다면체의 면들에 대해 합으로 표현하며, 계수는 $ (-1)^{\operatorname{codim}F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ 로 가중치를 부여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토릭 다양체의 초전기-마이터 클래스는 어떻게 궤도 분해와 국소 오일러 비율을 통해 표현될 수 있는가?
• RQ2 매츠이-타케우치의 토릭 초곡면의 쌍대 다양체의 차수에 대한 공식은 초전기-마이터 클래스에 대한 일반 공식으로부터 유도될 수 있는가?
• RQ3 국소 오일러 비율은 특이 토릭 다양체의 특성 클래스를 계산할 때 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 펄라르 다양체와 그 차수는 토릭 기하학에서 정의 다면체의 조합론과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 토릭 다양체 $ X $ 의 초전기-마이터 클래스는 $ c^M(X) = \sum_{\alpha} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) [\overline{X}_\alpha] $ 로 주어지며, 여기서 합은 모든 토르스 궤도를 따라 하며, $ \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) $ 는 궤도 $ X_\alpha $ 의 일반점에서의 국소 오일러 비율이다.
• 다양체 $ X $ 의 펄라르 다양체의 차수 $ \mu_k $ 는 $ \mu_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{n-i+1}{n-k+1} \sum_{\alpha: \operatorname{codim} X_\alpha = i} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ 로 계산된다.
• 쌍대 다양체의 차수 $ X^\vee $ 는 $ \deg X^\vee = \sum_{F_\alpha \preceq P} (-1)^{\operatorname{codim} F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ 로 주어지며, 매츠이-타케우치의 보조정리 1.6을 복원한다.
• 이중선과 두 개의 핀치 포인트를 가진 쿠빅 표면의 경우, 쌍대 차수는 $ \deg X_A^\vee = 3 $ 로 계산되며, 이는 비피라미드형 토릭 초곡면의 자기쌍대성과 일치한다.
• 비일반적 투영의 예시에서 $ \deg X_A^\vee = 6 $ 이고 $ \deg X_P^\vee = 7 $ 이며, 이는 쌍대 차수가 비일반적 투영에서 보존되지 않음을 보여준다.