[논문 리뷰] Chern-Schwartz-MacPherson Class of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 커널 차원이 적어도 $k$ 이상인 $m \times n$ 행렬의 집합으로 정의된 결정성 다양체 $\alpha_{m,n,k}$의 체른-슈바르츠-맥퍼슨(CSM) 클래스를, 그레마누언 위의 프로젝티브 번들의 형태로 실현된 특이점 해소를 통해 계산한다. 주요 기여는 기능성과 그레마누언 기하학을 활용한 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$에 대한 명시적 공식으로, 이는 매클로이2(Macaulay2)에서 실행 가능하며, 비특이 부분에서의 효과성과 소멸에 대한 추측을 포함한다.

ABSTRACT

For $m\geq n$, let $ au_{m,n,k}$ be the set of $m imes n$ matrices with kernel dimension $\ge k$. It is viewed as a subvariety of the projective space $\mathbb{P}^{mn-1}$ of nonzero $m imes n$ matrices up to scalar. In most cases $ au_{m,n,k}$ is singular, and its singular locus is $ au_{m,n,k+1}$. In this note we compute its Chern-Schwartz-MacPherson class $c_{SM}( au_{m,n,k})$ by using a resolution of singularities $ u\colon \hat au_{m,n,k} o au_{m,n,k} $, which may also be realized as a projective bundle over a Grassmannian. By the functoriality of $c_{SM}$ class, we can relate $c_{SM}( au_{m,n,k})$ to the pushforward $ u_*c_{SM}(\hat au_{m,n,k})$, and the Grassmanian plays an important role in the computation. Our formula can be easily implemented in Macaulay2. On the basis of explicit computations in low dimension, we formulate conjectures concerning the effectivity of the classes and the vanishing of specific terms in the $c_{SM}$ classes of the nonsingular part of the loci $ au_{m,n,k}$.

연구 동기 및 목표

• 특이 결정성 다양체 $\alpha_{m,n,k}$, 즉 커널 차원이 적어도 $k$ 이상인 $m \times n$ 행렬의 집합의 체른-슈바르츠-맥퍼슨(CSM) 클래스를 계산하는 것.
• $\alpha_{m,n,k}$의 특이점을 그레마누언 위의 프로젝티브 번들을 통해 실현된 기하적 구성으로 해소하는 것.
• CSM 클래스의 기능성 특성을 활용하여 특이 다양체의 클래스를 그 해소의 CSM 클래스의 푸시포워드로 연결하는 것.
• $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$에 대한 계산 가능하고 특히 매클로이2에서 실행 가능한 공식 유도.
• $\alpha_{m,n,k}$의 비특이 부분에서의 효과성과 특정 항의 소멸에 대한 추측을 수립하는 것.

제안 방법

• 특이점 해소 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$를 사용하며, 이는 $k$차원 부분공간을 매개변수화하는 그레마누언 위의 프로젝티브 번들로 구성된다.
• 체른-슈바르츠-맥퍼슨 클래스의 기능성 성질을 적용하여 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$를 해소 사상에 의한 $c_{\text{SM}}(\tilde{\alpha}_{m,n,k})$의 푸시포워드로 표현한다.
• 그레마누언 위의 알려진 교차 이론을 활용하여 프로젝티브 번들의 구조를 통해 푸시포워드를 계산한다.
• 해소의 구조를 활용하여 CSM 클래스의 계산 문제를 그레마누언 위의 슈부르트 계산 문제로 환원한다.
• 유도된 공식을 매클로이2에 구현하여 저차원 사례에서의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 저차원 계산에서 관찰된 패tern을 바탕으로 $\alpha_{m,n,k}$의 비특이 부분에서의 CSM 클래스의 항의 효과성과 소멸에 대한 추측을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이성이 있는 결정성 다양체 $\alpha_{m,n,k}$의 체른-슈바르츠-맥퍼슨 클래스는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 그레마누언은 $\alpha_{m,n,k}$의 특이점을 해소하고 그 CSM 클래스 계산을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 $\alpha_{m,n,k}$의 CSM 클래스는 그레마누언 위의 프로젝티브 번들로 구성된 해소로부터의 푸시포워드로 표현될 수 있는가?
• RQ4 $\alpha_{m,n,k}$의 비특이 부분의 CSM 클래스는 어떤 구조적 성질, 예를 들어 효과성과 소멸을 보이는가?
• RQ5 유도된 공식은 어떻게 체계적으로 매클로이2와 같은 계산 대수기하 소프트웨어에서 실행 가능한가?

주요 결과

• 체른-슈바르츠-맥퍼슨 클래스 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$는 그레마누언 위의 프로젝티브 번들을 통해 실현된 해소를 통해 계산되며, 이는 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 공식 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$는 CSM 클래스의 기능성과 해소 사상에 의한 푸시포워드를 통해 도출된다.
• 해소 사상 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$를 통해 특이 다양체의 CSM 클래스를 부드러운 해소의 CSM 클래스의 푸시포워드로 표현할 수 있다.
• 유도된 공식은 매클로이2에서 실행 가능하여 저차원 사례에서의 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 저차원 계산에서의 관찰을 바탕으로, 저자들은 $\alpha_{m,n,k}$의 비특이 부분에서의 CSM 클래스의 효과성과 특정 항의 소멸에 대한 추측을 수립한다.
• 그레마누언은 해소의 기하학을 조직화하고 교차 이론적 기법을 통해 계산을 가능하게 하는 데 중심적인 역할을 한다.