[논문 리뷰] Chiron: A Set Theory with Types, Undefinedness, Quotation, and Evaluation

William M. Farmer|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 27.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 29인용 수 13

한 줄 요약

Chiron은 유형 이론, 미정의 값 처리, 그리고 인용과 평가를 통한 문법적 추론를 통합한 집합론으로, 수학의 실용적 형식화를 가능하게 한다. Chiron은 NBG 집합론에 종속 유형, 람다 표기법, 그리고 표현식에 대한 추론 메커니즘을 추가하여 전통적인 논리 체계보다 더 높은 실용적 표현력을 달성한다.

ABSTRACT

Chiron is a derivative of von-Neumann-Bernays-Gödel (NBG) set theory that is intended to be a practical, general-purpose logic for mechanizing mathematics. Unlike traditional set theories such as Zermelo-Fraenkel (ZF) and NBG, Chiron is equipped with a type system, lambda notation, and definite and indefinite description. The type system includes a universal type, dependent types, dependent function types, subtypes, and possibly empty types. Unlike traditional logics such as first-order logic and simple type theory, Chiron admits undefined terms that result, for example, from a function applied to an argument outside its domain or from an improper definite or indefinite description. The most noteworthy part of Chiron is its facility for reasoning about the syntax of expressions. Quotation is used to refer to a set called a construction that represents the syntactic structure of an expression, and evaluation is used to refer to the value of the expression that a construction represents. Using quotation and evaluation, syntactic side conditions, schemas, syntactic transformations used in deduction and computation rules, and other such things can be directly expressed in Chiron. This paper presents the syntax and semantics of Chiron, some definitions and simple examples illustrating its use, a proof system for Chiron, and a notion of an interpretation of one theory of Chiron in another.

연구 동기 및 목표

• 수학의 기계화를 위한 높은 실용적 표현력을 가진 일반 목적의 논리 체계를 설계하기 위해.
• ZF와 NBG와 같은 전통적 집합론이 함수와 미정의 항목을 직접적으로 표현하는 데에 한계가 있음을 해결하기 위해.
• 집합론적 기초 위에 종속 유형과 람다 표기법과 같은 유형 이론 기능을 통합하기 위해.
• 인용과 평가를 통한 문법적 추론을 위한 명시적 메커니즘을 제공하기 위해.
• 논리 자체 안에서 문법적 변환, 체계, 계산 규칙을 직접 형식화할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 모든 유형, 종속 유형, 하위유형을 포함한 풍부한 유형 체계를 갖춘 NBG 집합론을 확장한다.
• 표현식, 항목, 공식, 연산자에 대한 압축된 표기법을 갖춘 형식적 문법을 도입한다.
• 표현식의 평가 및 모델 의미론을 정의하여 함수 적용이나 서술에 의해 자연스럽게 미정의 항목이 발생하도록 한다.
• 인용을 사용해 문법적 구조를 집합(구성)으로 표현하고, 평가를 통해 표현식의 값을 계산한다.
• Chiron에서의 추론을 위한 25개의 추론 규칙과 공리 체계를 개발한다.
• 다양한 이론 간의 관계를 설명하기 위해 해석과 의사해석을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합론이 어떻게 종속 유형과 람다 표기법을 지원하면서도 집합론에 기반을 두고 유지될 수 있는가?
• RQ2 어떤 메커니즘이 형식 논리 내에서 인용과 평가를 통해 문법적 추론을 직접 가능하게 하는가?
• RQ3 부분 함수나 부적절한 서술에 의해 발생하는 미정의 항목이 형식 시스템 내에서 일관되게 처리될 수 있는가?
• RQ4 Chiron에서 추론의 타당성과 완전성을 보장하는 증명 체계는 무엇인가?
• RQ5 Chiron의 한 이론이 다른 이론 내에서 어떻게 해석될 수 있으며, 이는 수학의 모듈러 형식화를 가능하게 하는가?

주요 결과

• Chiron은 종속 유형, 종속 함수 유형, 하위유형을 포함한 완전한 유형 체계를 지원하여 수학적 대상의 정밀한 명시를 가능하게 한다.
• 의미론을 통해 논리가 자연스럽게 미정의 항목을 처리하므로, 메타논리적 보완 조치가 필요 없다.
• 인용과 평가는 체계와 변환 규칙과 같은 문법적 구성 요소를 논리 내에서 직접 표현할 수 있도록 한다.
• 증명 체계는 타당성과 완전성을 보장하며, 실용적 추론을 지원하는 25개의 추론 규칙과 공리 체계를 포함한다.
• 해석과 의사해석은 Chiron 내에서 모듈러 이론 개발과 이론 비교를 위한 프레임워크를 제공한다.
• 압축된 표기 체계는 복잡한 수학적 및 논리적 구성 요소를 읽기 쉽게 간결하게 표현할 수 있게 한다.