[논문 리뷰] Chow quotients of Grassmannian I

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|1992. 10. 07.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 최대 토러스 $H \subset GL(n)$ 작용 하에서의 궤도 닫힘을 이용하여 $\mathbb{P}^{k-1}$ 상의 $n$개 점의 구성의 모듈리 공간의 컴팩티피케이션으로 차우 몫 $G(k,n)//H$를 도입한다. 이는 $G(2,n)//H$가 딜레인-마운드 컴팩티피케이션 $\overline{M_{0,n}}$ 와 구조적으로 동일함을 보이며, 리 복합체와 버로네제 다양체의 극한을 통해 안정적 $n$-점이 있는 유리 곡선의 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a certain compactification of the space of projective configurations i.e. orbits of the group $PGL(k)$ on the space of $n$ - tuples of points in $P^{k-1}$ in general position. This compactification differs considerably from Mumford's geometric invariant theory quotient. It is obtained by considering limit position (in the Chow variety) of the closures of generic orbits. The same result will be obtained if we study orbits of the maximal torus on the Grassmannian $G(k,n)$. We study in detail the closures of the torus orbits and their "visible contours" which are Veronese varieties in the Grassmannian. For points on $P^1$ our construction gives the Grothemdieck - Knudsen moduli space of stable $n$ -punctured curves of genus 0. The "Chow quotient" interpretation of this space permits us to represent it as a blow up of a projective space.

연구 동기 및 목표

• 최대 토러스 $H \subset GL(n)$ 작용 하에서의 궤도 닫힘의 극한을 연구하여 $\mathbb{P}^{k-1}$ 상의 $n$개 점의 구성의 프로젝티브 동치에 대한 컴팩트 모듈리 공간을 구성한다.
• 그라스만이안 $G(k,n)$ 내에서 일반적인 $H$-궤도의 닫힘의 극한 공간으로서 차우 몫 $G(k,n)//H$를 정의함으로써 컴팩티피케이션 개념을 일반화한다.
• 일반화된 리 복합체와 안정적 $n$-점이 있는 유리 곡선 사이의 기하적 대응을 확립하고, $G(2,n)//H$ 를 $\overline{M_{0,n}}$ 와 동일시한다.
• 차우 몫과 버로네제 다양체를 통한 그레판드-맥피어슨 대응의 새로운 기하적 해석을 제공한다.
• 그라스만이안의 일반 부분에서 전체 차우 몫으로의 제약 및 투영 사상 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ 를 확장하여 귀납적 구성 가능성을 보장한다.

제안 방법

• 차우 몫 $G(k,n)//H$ 를 $\mathbb{P}^{n-1}$ 내의 $k-1$ 차원, $n-1$ 차수의 사이클의 차우 다양체에 있는 궤도 닫힘 사상의 이미지의 닫힘으로 정의한다.
• 그레판드-맥피어슨 대응을 사용하여 $\mathbb{P}^{k-1}$ 상의 $n$개 점의 구성과 $(\mathbb{P}^{k-1})^n$ 내의 $GL(k)$-궤도를 연결하고, 차우 다양체 내에서 극한을 취한다.
• 차우 몫 $G(k,n)//H$ 를 리 대수 $\mathfrak{h}$ 에 대한 버로네제 사상의 이미지의 닫힘으로 특성화한다.
• 리 복합체 $Z$ 의 가시 윤곽을, 일반 점 $p = (1:\cdots:1)$ 를 포함하는 $Z$ 내의 부분공간의 집합으로 정의하며, 이는 $G(k-1, \mathfrak{h})$ 내에 존재한다.
• 가시 스위프트 $Sw(Z)$ 를 가시 윤곽에 속하는 모든 부분공간의 합집합으로 정의하며, 이는 유리 함수의 이미지로 명시적으로 계산할 수 있다.
• 비유일 사상 $\sigma_i: \overline{M_{0,n}} \to \mathbb{P}^{n-3}$ 과 역극한 구성법을 사용하여 $\overline{M_{0,n}}$ 이 $\Pi^{n-3}_{ij}$ 와 $\mathbb{P}^{n-3}_i$ 의 블로우업의 곱의 열린 부분의 닫힘과 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정적 $n$-점이 있는 유리 곡선의 모듈리 공간 $\overline{M_{0,n}}$ 은 $\mathbb{P}^{k-1}$ 상의 $n$개 점의 구성의 공간으로서 어떻게 컴팩티피케이션으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 최대 토러스 $H$ 가 그라스만이안 $G(k,n)$ 에 작용할 때의 차우 몫 $G(k,n)//H$ 의 기하적 구조는 무엇인가?
• RQ3 제약 및 투영 사상 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ 는 그라스만이안의 일반 부분에서 전체 차우 몫으로 어떻게 확장되는가?
• RQ4 버로네제 다양체와 그 가시 윤곽은 차우 몫 $G(k,n)//H$ 를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 공간 $\overline{M_{0,n}}$ 은 차우 몫 구성법을 통해 프로젝티브 공간의 반복 블로우업으로 귀납적으로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 차우 몫 $G(2,n)//H$ 는 딜레인-마운드 컴팩티피케이션 $\overline{M_{0,n}}$ 과 구조적으로 동일하며, 안정적 $n$-점이 있는 유리 곡선의 기하적 실현을 제공한다.
• $\overline{M_{0,n}}$ 은 $\Pi^{n-3}_{ij}$ 와 $\mathbb{P}^{n-3}_i$ 의 역극한 공간 내에서 열린 스트라툼 $M_{0,n}$ 의 닫힘과 동형이며, 사상 $\psi$ 는 대수기하학적 다양체 간의 동형사상이다.
• 사상 $f_{ij} \times \pi_i: \overline{M_{0,n}} \to \Pi^{n-3}_{ij} \times \overline{M_{0,n-1}}$ 는 대수기하학적 다양체의 임bedding이며, 이는 $\overline{M_{0,n}}$ 의 구조가 안정 곡선의 구조와 한 점으로의 제약에 의해 결정됨을 보여준다.
• 안정적 $n$-점이 있는 곡선 $C$ 의 동형류는 $\pi_i(C)$ 의 동형류와 $C$ 의 이중 그래프에서 경로 $[ij]$ 상의 표시된 점들의 구성으로부터 복원될 수 있다.
• $\overline{M_{0,n}}$ 은 $\overline{M_{0,n-1}}$ 과 $\mathrm{Bl}_{p_j}\Pi^{n-3}_{ij}$ 가 $\mathbb{P}^{n-4}_{ij}$ 위에서의 곱으로 동형이며, 이는 $\overline{M_{0,n}}$ 이 반복된 블로우업으로 귀납적으로 구성됨을 보여준다.
• 그라스만이안 내의 버로네제 다양체의 호 클래스는 $GL(n-k)$ 의 표현의 차원과 대응되며, 이는 대수기하학과 표현 이론을 연결한다.