[논문 리뷰] Chromatic number of signed graphs with bounded maximum degree

Sandip Das, Soumen Nandi외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 31.

Graph theory and applications참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수 Δ를 가진 연결된 부호 그래프의 부호 색칠 수에 대해 날카운 지수적 경계를 확립한다. 모든 Δ ≥ 3에 대해 이 값은 $2^{∆/2 - 1}$ 와 $(∆ - 1)^2 \cdot 2^{∆ - 1} + 2$ 사이에 존재한다. 저자들은 특정 이웃 확장 성질을 가지는 부호 완전 그래프의 확률적 구성과 비가역성 기반의 호모모르피즘 추론을 사용하여 이 경계를 도출한다.

ABSTRACT

A signed graph $ (G, Σ)$ is a graph positive and negative ($Σ$ denotes the set of negative edges). To re-sign a vertex $v$ of a signed graph $ (G, Σ)$ is to switch the signs of the edges incident to $v$. If one can obtain $ (G, Σ')$ by re-signing some vertices of $ (G, Σ)$, then $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. A signed graphs $ (G, Σ)$ admits an homomorphism to $ (H, Λ)$ if there is a sign preserving vertex mapping from $(G,Σ')$ to $(H, Λ)$ for some $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. The signed chromatic number $χ_{s}( (G, Σ))$ of the signed graph $(G, Σ)$ is the minimum order (number of vertices) of a signed graph $(H, Λ)$ such that $ (G, Σ)$ admits a homomorphism to $(H, Λ)$. For a family $ \mathcal{F}$ of signed graphs $χ_{s}(\mathcal{F}) = ext{max}_{(G,Σ) \in \mathcal{F}} χ_{s}( (G, Σ))$. We prove $2^{Δ/2-1} \leq χ_s(\mathcal{G}_Δ) \leq (Δ-1)^2. 2^{(Δ-1)} +2$ for all $Δ\geq 3$ where $\mathcal{G}_Δ$ is the family of connected signed graphs with maximum degree $Δ$. \end{abstract}

연구 동기 및 목표

• 최대 차수 Δ와 부호 그래프의 부호 색칠 수 간의 관계를 조사하는 것.
• 최대 차수 Δ 이하인 연결된 부호 그래프의 가족에 대해 부호 색칠 수의 날카운 상한 및 하한 경계를 확립하는 것.
• 향방 그래프 및 푸시가능 색칠 수에 대한 기존 결과를 부호 그래프 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• c = t(t-1) \cdot 2^t 개의 정점으로 이루어진 무작위 부호 완전 그래프를 구성하고, 이 그래프가 거의 확실히 이웃 확장 성질 $P_{t-1}$ 를 만족함을 증명한다.
• 모든 j-튜플의 정점과 j-벡터의 부호에 대해 공통 이웃의 크기가 $\frac{1 + (t-j)(t-2)}{2}$ 이상이 되도록 성질 $P_{t-1}$ 을 정의한다.
• 확률적 방법을 사용하여 $P_{t-1}$ 을 위반할 확률이 1 미만임을 보여, 그러한 부호 그래프의 존재를 보장한다.
• 모든 최대 차수 Δ와 비가역성 $\Delta - 1$ 을 가진 연결된 부호 그래프는 성질 $P_{\Delta - 1}$ 을 가진 부호 그래프로의 호모모르피즘을 갖는다.
• Δ-정규 그래프의 경우 간선 제거를 통해 비가역성을 감소시키고, 이후 두 개의 새로운 정점을 추가하고 간선 부호를 조정하여 호모모르피즘을 확장한다.
• 기존의 향방 색칠 수 결과로부터 유도된 부등식 $\chi_2((G,\Sigma)) \leq 2 \cdot \chi_s((G,\Sigma))$ 를 활용하여 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수에 의해 유계된 부호 그래프의 가족에 대해 부호 색칠 수의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ2 부호 색칠 수가 최대 차수 Δ에 대해 지수적으로 유계질 수 있는가?
• RQ3 부호 그래프의 비가역성은 고정된 부호 타겟 그래프로의 호모모르피즘과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 확률적 방법을 사용하여 강력한 이웃 확장 성질을 가진 부호 그래프를 구성할 수 있는가?
• RQ5 최대 차수 Δ를 가진 연결된 부호 그래프에 대해 부호 색칠 수의 가장 날카운 상한 및 하한 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 최대 차수 Δ 이하인 연결된 부호 그래프의 가족 $\mathcal{G}_\Delta$ 의 부호 색칠 수는 하한으로서 $2^{\Delta/2 - 1}$ 으로 유계된다.
• 모든 $\Delta \geq 3$ 에 대해 $\mathcal{G}_\Delta$ 의 부호 색칠 수는 상한으로서 $(\Delta - 1)^2 \cdot 2^{\Delta - 1} + 2$ 로 유계된다.
• c = t(t-1) \cdot 2^t 개의 정점으로 이루어진 무작위 부호 완전 그래프는 거의 확실히 이웃 확장 성질 $P_{t-1}$ 을 만족하며, 이러한 그래프의 존재를 보장한다.
• 최대 차수 Δ와 비가역성 $\Delta - 1$ 을 가진 모든 연결된 부호 그래프는 성질 $P_{\Delta - 1}$ 을 가진 부호 그래프로의 호모모르피즘을 갖는다.
• 상한은 상수 인자에 대해 날카로우며, 동일한 경계가 향방 그래프의 푸시가능 색칠 수에 대해서도 성립하기 때문이다.
• 하한은 기존의 2-edge-colored 색칠 수에 대한 하한과 부등식 $\chi_2 \leq 2 \cdot \chi_s$ 를 활용하여 도출된다.