[논문 리뷰] Circuit Complexity and Decompositions of Global Constraints

Christian Bessière, George Katsirelos외 2명|ArXiv.org|2009. 05. 22.

Constraint Satisfaction and Optimization참고 문헌 23인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 회로 복잡도와 전역 제약 조건의 논리합규범형(CNF)으로의 분해 간의 형식적 연결을 수립한다. 전역 제약 조건의 도메인 일致성 전파기의 다항식 크기의 CNF 분해가 존재하는 것은 유일하게 다항식 크기의 단조 부울 회로로 계산 가능한 경우임을 증명한다. 핵심 결과는 이분 그래프에서 완벽 매칭에 대한 단조 회로 복잡도에서 초다항식 하한이 존재하므로, AllDifferent 제약 조건의 도메인 일치성 전파기의 다항식 크기의 CNF 분해가 불가능하다는 것이다.

ABSTRACT

We show that tools from circuit complexity can be used to study decompositions of global constraints. In particular, we study decompositions of global constraints into conjunctive normal form with the property that unit propagation on the decomposition enforces the same level of consistency as a specialized propagation algorithm. We prove that a constraint propagator has a a polynomial size decomposition if and only if it can be computed by a polynomial size monotone Boolean circuit. Lower bounds on the size of monotone Boolean circuits thus translate to lower bounds on the size of decompositions of global constraints. For instance, we prove that there is no polynomial sized decomposition of the domain consistency propagator for the ALLDIFFERENT constraint.

연구 동기 및 목표

• 전역 제약 조건을 CNF로 분해할 때 일치성 전파 강도를 잃지 않도록 하는 분해의 한계를 규명하는 것.
• 도메인 일치성을 단위 전파를 통해 유지하는 효율적인 다항식 크기의 CNF 인코딩을 허용하는 전역 제약 조건을 이해하는 것.
• 회로 복잡도 도구를 활용하여 이러한 분해의 크기에 하한을 설정하는 것.
• 이러한 결과를 고정된 다항식 차수를 가진 제약 조건과 확장형 도메인을 가진 CSP 제약 조건으로의 분해로 확장하는 것.
• 더 표현력 있는 제약 표현 방식(예: 큰 도메인을 표현하기 위해 범위를 사용하는 방식)에 대한 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 변수 도메인 위에서 단조적, 수축적, 등幂적인 함수로 전파기를 형식화한다.
• 해결책이 주어진 도메인 하에서 존재하는지 여부를 반환하는 단조 부울 함수로 일치성 체크기를 정의한다.
• CNF 분해에서 계층적 단조 부울 회로를 구성하여, CNF에 대한 단위 전파가 회로 평가와 대응되도록 한다.
• 단위 전파가 원래 전파기와 동일한 수준의 일치성을 강제하는 것은 유일하게 회로가 동일한 함수를 계산할 때이다.
• 특히 이분 그래프에서 완벽 매칭에 대한 레즈보로프의 초다항식 하한을 활용하여, CNF 분해 크기에 대한 하한을 도출한다.
• 고정된 다항식 차수를 가진 제약 조건과 확장형 도메인을 가진 CSP 분해로 결과를 확장하여, 다항식 크기의 CNF로 변환 가능하다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 전역 제약 조건이 도메인 일치성을 단위 전파를 통해 유지하는 다항식 크기의 CNF 분해를 허용하는가?
• RQ2 제약 조건의 전파기의 계산 복잡도와 그 CNF 분해 크기 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 회로 복잡도 이론을 사용하여 전역 제약 조건의 CNF 분해 크기에 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ4 AllDifferent와 같은 전역 제약 조건을 CNF로 분해할 때 지수적 팽창 없이 분해할 수 있는 기본적인 한계는 존재하는가?
• RQ5 결과는 더 표현력 있는 제약 표현 방식, 예를 들어 큰 도메인을 표현하기 위해 범위를 사용하는 방식으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 전역 제약 조건의 도메인 일치성 전파기의 다항식 크기의 CNF 분해가 존재하는 것은 유일하게 다항식 크기의 단조 부울 회로로 계산 가능한 경우이다.
• AllDifferent 제약 조건의 도메인 일치성 전파기의 다항식 크기의 CNF 분해가 불가능한 것은 이분 그래프에서 완벽 매칭에 대한 레즈보로프의 초다항식 하한이 단조 회로에 존재하기 때문이다.
• 이 결과는 전역 카디널리티 제약 조건(GCC)과 같은 AllDifferent의 일반화에도 확장된다.
• 고정된 다항식 차수를 가진 제약 조건과 확장형 도메인을 가진 CSP 분해는 다항식 크기의 CNF로 변환 가능하므로 동일한 하한이 적용된다.
• AllDifferent의 범위 일치성 및 범위 일치성 전파기의 경우 분해가 가능하므로, 제한은 도메인 일치성에 특화되어 있음을 시사한다.
• 저자들은 도메인 기반 표현 방식을 사용하는 제약 조건로의 분해가 불가능할 것이라 추측하며, 이는 단조 산술 회로에서 유사한 하한이 존재하기 때문이다.