[논문 리뷰] Circular flows for the Euler equations in two-dimensional annular domains

François Hamel, Nikolaï Nadirashvili|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 차원의 동심환 영역에서 정 steady Euler 유동의 원형 대칭성 결과를 확립하며, 경계 조건이 고정벽 조건이고 정류점이 없을 경우, 흐름은 반드시 원형이어야 한다(유선이 동심원이 된다). 또한 유동의 속도가 일정한 경계 조건을 만족할 경우 도메인이 원판 또는 환형인 것을 강제하는 자유경계 문제를 분류하며, 스트림 함수로부터 유도된 반선형 타원형 미분방정식에 대해 새로운 비교 원리와 이동 평면 방법을 사용한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in two-dimensional bounded annuli, as well as in exterior circular domains, in punctured disks and in the punctured plane. We always assume rigid wall boundary conditions. We prove that, if the flow does not have any stagnation point, and if it satisfies further conditions at infinity in the case of an exterior domain or at the center in the case of a punctured disk or the punctured plane, then the flow is circular, namely the streamlines are concentric circles. In other words, the flow then inherits the radial symmetry of the domain. The proofs are based on the study of the trajectories of the flow and the orthogonal trajectories of the gradient of the stream function, which is shown to satisfy a semilinear elliptic equation in the whole domain. In exterior or punctured domains, the method of moving planes is applied to some almost circular domains located between some streamlines of the flow, and the radial symmetry of the stream function is shown by a limiting argument. The paper also contains two Serrin-type results in simply or doubly connected bounded domains with free boundaries. Here, the flows are further assumed to have constant norm on each connected component of the boundary and the domains are then proved to be disks or annuli.

연구 동기 및 목표

• 두 차원의 동심환 영역에서 정 steady Euler 유동이 언제 원형 대칭(즉, 유선이 동심원이 되는)이 되는지 기하학적 및 경계 조건을 규명하는 것.
• 유동의 속도가 각 경계 성분에서 일정한 조건을 만족할 경우 도메인이 원판 또는 환형인 것을 강제하는 자유경계 문제를 분류하는 것.
• 이동 평면 방법을 통해 대칭성을 증명하기 위해 이중 연결 영역에서의 반선형 타원형 미분방정식에 대한 새로운 비교 원리를 개발하는 것.
• 적절한 감쇠 또는 정규성 조건 하에 유계 또는 구멍이 난 영역으로 Liouville형 및 Serrin형 정리의 확장을 이루는 것.

제안 방법

• 스트림라인 사이의 거의 원형 영역에 적응된 이동 평면 방법을 사용하여 스트림 함수의 원형 대칭성을 증명한다.
• Euler 방정식으로부터 유도된 반선형 타원형 미분방정식의 해로 스트림 함수를 분석한다.
• 유선 기울기의 궤적과 수직 궤적을 연구하기 위해 ODE 및 PDE 기법을 적용한다.
• 소규모 영역에서의 최대원리(강한 최대원리 및 약한 최대원리)를 사용하여 이동 평면 방법의 모순을 유도한다.
• 경계 조건을 설정한다: 경계에서의 접선 흐름(고정벽), 각 경계 성분에서의 일정한 속도, 무한대 또는 원점에서의 감쇠/무한대 조건.
• 이동 평면 방법에서의 극한 추론을 사용하여 대칭성이 극한까지 유지됨을 보여주며, 전체적인 원형 대칭성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원의 동심환 영역에서 정 steady Euler 유동이 언제 원형이 되는가(즉, 유선이 동심원이 되는가)?
• RQ2 Euler 방정식의 자유경계 문제를 해결할 수 있는가? 이때 일정한 속도 경계 조건이 도메인을 원판 또는 환형으로 강제하는가?
• RQ3 이중 연결 영역에서 반선형 타원형 미분방정식에 대해 대칭성을 증명하기 위해 어떤 비교 원리를 설정할 수 있는가?
• RQ4 이동 평면 방법은 정확히 대칭적이지 않지만 스트림라인 사이에서 거의 원형인 영역에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 유계 동심환, 구멍이 난 원판, 무한 외부 영역, 그리고 구멍이 난 평면에서, 정 steady Euler 유동이 정류점이 없고 접선 경계 조건을 만족할 경우 반드시 원형이어야 한다.
• 단순 또는 이중 연결 영역에서의 자유경계 문제에 대해, 각 경계 성분에서 유동의 속도가 일정할 경우 도메인은 반드시 원판 또는 환형이어야 한다.
• 제시된 조건 하에서 스트림 함수와 그 등고선(유선)은 원형 대칭성을 가지며, 이는 흐름이 도메인의 원형 대칭성을 그대로 이어받음을 의미한다.
• 이중 연결 영역에서 반선형 타원형 미분방정식에 대해 새로운 비교 원리가 확립되었으며, 이는 이동 평면 방법을 통해 대칭성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 이동 평면 방법은 도메인이 정확히 대칭적이지 않더라도 스트림라인 사이의 거의 원형 영역에 대해 성공적으로 적응되었으며, 극한 추론과 소규모 영역 추정을 통해 이를 달성했다.