[논문 리뷰] Circular quiver gauge theories, isomonodromic deformations and $W_N$ fermions on the torus

Giulio Bonelli, Fabrizio Del Monte외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 100인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위의 원형 퀼리 $N=2$ $d=4$ $SU(N)$ 양자역학 이론과 자가 dual $\Omega$-배경에서의 등각적 변형 문제 사이의 대응을 수립한다. 이는 편평한 $SL(N)$ 접속의 등각적 변형 문제와 관련이 있다. 변형 문제를 $W_N$ 자유 페르미온 상관함수로 매핑함으로써, 저자들은 등각적 변형 시스템의 $\tau$-함수와 양자역학 이론의 분할함수 사이에 비례 관계가 있음을 보이며, 비례 계수는 탈자율화된 Seiberg-Witten 통합계의 해에 의존한다.

ABSTRACT

We study the relation between class S theories on punctured tori and isomonodromic deformations of flat SL(N) connections on the two dimensional torus with punctures. Turning on the self dual $\\Omega$-background corresponds to a deautonomization of the Seiberg-Witten integrable system which implies a specific time dependence in its Hamiltonians. We show that the corresponding $\ au$-function is proportional to the dual gauge theory partition function, the proportionality factor being a non trivial function of the solution of the deautonomized Seiberg-Witten integrable system. This is obtained by mapping the isomonodromic deformation problem to $W_N$ free fermion correlators on the torus.

연구 동기 및 목표

• 구멍이 뚫린 토러스 위의 $\mathcal{S}$ 이론과 편평한 $SL(N)$ 접속의 등각적 변형 문제 사이의 정확한 대응을 수립한다.
• 기존의 $\mathcal{N}=2^*$ 이론과 페인레베 6의 관계를 고차원 $SU(N)$ 원형 퀄리 이론으로 일반화한다.
• 등각적 변형 시스템의 $\tau$-함수가 탈자율화된 통합계에 따라 변하는 비자명한 인자에 비례하는 바에, 양자역학 이론의 분할함수와 일치함을 보여준다.
• 자유 페르미온 상관함수와 열화된 필드 연산자를 통해 토러스 위에서 $W_N$ 대칭을 실현한다.
• 이론적 기반을 넘어서 $N=2$의 경우를 초월하여, $W_N$ 페르미온이 양자역학 이론의 분할함수와 등각적 변형 문제의 해를 연결하는 역할를 확장한다.

제안 방법

• 정점 연산자 대수 기법을 통해 편평한 토러스 위의 등각적 변형 문제를 $W_N$ 자유 페르미온 상관함수로 매핑한다.
• 히친 시스템과 세이버그-위튼 기하학을 사용하여, 양자역학 이론의 쿨롱 분지가 토러스 위에 분할된 히퍼케일러 맨ifold로 기술됨을 설명한다.
• 시간 변수를 '느린'과 '빠른' 변수로 분리함으로써 Seiberg-Witten 통합계를 탈자율화하고, 위티람 유형의 동역학을 이끌어낸다.
• $W_N$ 생성자와 $U(1)$ 보존에서 $N$-성분 자유 페르미온을 구성하며, 정규적인 OPE 관계를 보장한다.
• 완전히 열화된 필드 $\phi_{s,\theta}$ 와 $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 를 사용하고, 프로젝터를 통해 융합 채널을 제한하여 페르미온 필드를 정의한다.
• 이러한 페르미온 연산자의 상관함수로 등각적 변형 시스템의 $\tau$-함수를 유도하며, 이는 양자역학 이론의 분할함수와 해에 따라 변하는 비례 인자 외에는 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 편평한 토러스 위의 등각적 변형 문제에서의 $\tau$-함수는 자가 dual $\Omega$-배경에서의 원형 퀄리 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 양자역학 이론의 분할함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 $W_N$ 자유 페르미온 상관함수는 토러스 위에서 양자역학 이론의 분할함수를 어떻게 실현하는가?
• RQ3 Seiberg-Witten 통합계의 탈자율화가 $\tau$-함수와 양자역학 이론 간의 관계에 어떻게 나타나는가?
• RQ4 토러스 위의 $W_N$ 대칭은 고차원 게이지 군에 대해 등각적 변형 문제의 해를 체계적으로 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 $W_N$ 경우에서 $\tau$-함수와 분할함수 사이의 비례 계수의 기능적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 등각적 변형 문제의 $\tau$-함수는 탈자율화된 Seiberg-Witten 통합계의 해에 따라 변하는 비례 계수를 가지며, 양자역학 이론의 분할함수와 비례한다.
• 이 대응은 고차원 $SU(N)$ 양자역학 이론으로의 $N=2$ 경우의 일반화를 포함하는 $W_N$ 자유 페르미온 상관함수로 실현된다.
• 정규적인 OPE 관계를 만족하는 $N$-성분 페르미온을 정의하기 위해 완전히 열화된 필드 $\phi_{s,\theta}$ 와 $\bar{\phi}_{s,\theta}$ 를 프로젝터와 함께 사용한다.
• 토러스 위의 $W_N$ 페르미온 실현은 $\tau$-함수를 이러한 페르미온 필드의 상관함수로 표현할 수 있게 하며, 이는 해에 따라 변하는 비자명한 인자 외에는 양자역학 이론의 분할함수와 일치한다.
• 이론적 연결 고리는 $W_N$ 대칭을 통해 기존의 페인레베 초월함수와 $\mathcal{N}=2^*$ 이론 간의 관계를 일반 원형 퀄리 $SU(N)$ 이론으로 확장한다.
• $\tau$-함수와 분할함수 사이의 비례 계수는 일정하지 않으며, 탈자율화된 통합계의 모듈리에 따라 변하며, 쿨롱 분지의 비자명한 기하학을 반영한다.