[논문 리뷰] Clamping and Synchronization in the strongly coupled FitzHugh-Nagumo model

Cristóbal Quiñinao, Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 18.

stochastic dynamics and bifurcation참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 결합 강도의 한계에서, 히프-콜드-네이거 신경망의 평균장 역학을 조사한다. 히프-콜드 변환을 사용하여 해가 시간에 따라 변하는 점에 중심을 둔 특이 딜라 측도에 집중함을 보여준다. 주요 결과는 안정된 고정점 또는 주기 궤도에 해당하는 고정 또는 동기화 행동의 등장이다. 이는 원래의 결정론적 히프-콜드-네이거 시스템의 역학을 반영한다.

ABSTRACT

We investigate the dynamics of a limit of interacting FitzHugh-Nagumo neurons in the regime of large interaction coefficients. We consider the dynamics described by a mean-field model given by a nonlinear evolution partial differential equation representing the probability distribution of one given neuron in a large network. The case of weak connectivity previously studied displays a unique, exponentially stable, stationary solution. Here, we consider the case of strong connectivities, and exhibit the presence of possibly non-unique stationary behaviors or non-stationary behaviors. To this end, using Hopf-Cole transformation, we demonstrate that the solutions exponentially concentrate around a singular Dirac measure as the connectivity parameter diverges, centered at the zeros of a time-dependent continuous function. We next characterize the points at which this measure concentrates, and exhibit a particular solution corresponding to a Dirac measure concentrated on a time-dependent point satisfying an ordinary differential equation identical to the original FitzHugh-Nagumo system. This solution may thus feature multiple stable fixed points or periodic orbits, respectively corresponding to a clumping of the whole system at rest, or a synchronization of cells on a periodic solution. We illustrate these results with numerical simulations of neural networks with a relatively modest number of neurons and finite coupling strength, and show that away from the bifurcations of the limit system, the asymptotic equation recovers the main properties of more realistic networks.

연구 동기 및 목표

• 강한 전기적 결합을 가진 대규모 신경망의 역학을 이해하기 위해, 특히 결합 강도가 무한히 커지는 한계에서의 행동을 분석한다.
• 강한 결합된 히프-콜드-네이거 뉴런의 평균장 한계에서 유일하지 않은 정적 또는 비정적 행동의 등장을 규명한다.
• 시스템이 고정(균형 상태에 집중) 또는 동기화(주기적 집단 행동)를 보이는 조건을 설정한다.
• 절단 기법을 통해 국소적으로 리프시츠 연속이 아닌 드리프트에 대한 이론적 분석을 확장하여 고전적 히프-콜드-네이거 모델을 다룰 수 있도록 한다.
• 평균장 PDE와 유한한 크기의 네트워크 역학 사이의 격차를 메우기 위해, 중간 크기의 네트워크에서의 수치 시뮬레이션을 통해 결과를 검증한다.

제안 방법

• 강한 전기적 결합을 가진 대규모 네트워크에서 한 뉴런의 확률 분포를 위한 평균장 PDE를 수립한다.
• 결합 매개변수 ε → 0에서의 해의 집중을 분석하기 위해 히프-콜드 변환을 적용한다.
• 해가 시간에 따라 변하는 함수의 영점에 중심을 둔 델타 측도 주변으로 지수적으로 집중됨을 보여준다.
• 특수한 해가 존재하며, 이 경우 델타 측도가 원래 히프-콜드-네이거 ODE를 만족하는 시간에 따라 변하는 점에 집중된다.
• 히프-콜드-네이거 시스템의 국소적으로 리프시츠 연속이 아닌 드리프트를 다루기 위해 절단 기법을 사용한다.
• 강한 결합과 비집중적 초깃값을 가진 유한한 크기의 네트워크에서의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합 매개변수 ε → 0에서 평균장 PDE의 정적 해는 어떻게 행동하며, 다수의 안정한 해가 등장할 수 있는가?
• RQ2 시스템이 주기적 집단 역학에 해당하는 동기화를 보이기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 한계 동역학이 강한 결합 조건에서 피접근점 이외의 영역에서도 유한한 크기의 네트워크의 본질적 특성을 잘 반영할 수 있는가?
• RQ4 대규모 네트워크 크기와 강한 결합 한계를 취하는 순서가 서로 바뀌어도 동일한 결과를 얻을 수 있는가? 이는 시스템의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 소규모이지만 0이 아닌 결합 강도에서 한계 시스템의 주기적 해가 유지되는가? 이러한 해의 안정성을 증명하기 위해 필요한 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 결합 매개변수 ε → 0에서 평균장 PDE의 해가 지수적으로 특이한 델타 측도 주변으로 집중된다.
• 델타 측도는 시간에 따라 변하는 연속 함수의 영점에 집중되며, 이 함수는 원래의 히프-콜드-네이거 시스템과 동일한 ODE를 만족한다.
• 특수한 해가 존재하며, 이 경우 시스템은 주기 궤도에 동기화되거나 고정점에 고정되며, 집단적 휴식 상태 또는 진동 상태에 해당한다.
• 중간 크기의 유한한 네트워크에서의 수치 시뮬레이션은 점근적 한계 방정식이 예측한 주요 역학적 특성을 잘 복원한다.
• 집중 과정은 매우 빠르며, 순서 e^{-γt/ε}의 프로파일을 보이며, 이는 전압가 네트워크 평균값으로부터 ε 범위 내에 유지되는 활성 제약를 시사한다.
• ε > 0에서 한계 시스템에서 다수의 안정된 해 또는 주기적 해가 존재하는지 여부는 아직 미해결이지만, 유한 시간 간격에서는 균일 수렴이 성립한다.