[논문 리뷰] Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions

Kathrin Bringmann, Ben Kane|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼차 이차형식에 의한 정수의 표현과 합동 조건 사이의 균일한 공식을 도출하며, 이를 히르츠 위치 클래스 수와 연결한다. 정수 계수 삼차 이차형식의 계급 수가 1인 경우, 변수에 특정 합동 조건을 부과한 표현 수는 총 표현 수에 비례하며, 비례 상수는 정수를 고정된 모듈로로 나눈 잔여류에만 의존한다.

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the interplay between integral ternary quadratic forms and class numbers. This is partially motivated by a question of Petersson.

연구 동기 및 목표

• 변수에 합동 조건을 포함시켜 고전적인 제곱수의 합과 클래스 수를 연결하는 공식을 확장한다.
• 계급 수가 1인 모든 삼차 이차형식을 규명하여, 이러한 합동 조건이 붙은 표현 수가 총 표현 수와 비례하는 경우를 식별한다.
• 모든 $ (\bm{h}, N) $ 쌍을 체계적으로 규명하여, 표현 수 $ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ 가 $ r_{\bm{a}}(n) $ 에 비례하도록 하며, 비례 상수는 $ n \mod M $ 에만 의존하도록 한다.
• Siegel-Weil 평균과 계급 이론을 사용하여 이러한 모든 형식과 합동 계열에 대해 비례 상수의 명시적 공식을 제공한다.
• 피터슨이 제기한 특정 합동 조건에 대한 질문을 해결하며, 특히 $\bm{a} = (1,1,1)^T$ 이고 $N=4$ 인 경우를 다룬다.

제안 방법

• Siegel-Weil 평균 공식을 사용하여, 합동 조건이 있는 표현 수를 국소 밀도와 클래스 수와 연결한다.
• Jones의 계급 수가 1인 삼차 이차형식 분류를 적용하여, 계급 수가 1인 형식 $Q_{\bm{a}}$ 에 국한한다.
• 모듈라 형식의 valence 공식을 사용하여 $\Gamma_0(N)$ 의 교차 부분군에 대한 측도 형식 공간의 차원을 유계화함으로써 항등식의 검증을 가능하게 한다.
• Eisenstein 급수와 측도 형식에 대한 알려진 결과를 이용하여, $r_{\bm{a}}(n)$ 과 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 과 관련된 모듈라 형식의 계수를 비교함으로써 명시적 공식을 유도한다.
• 계급 수가 1인 경우, 계급 평균이 총 표현 수로 축약된다는 사실을 활용하여 분석을 단순화한다.
• 국소 밀도와 $p$-진 성질에 기반하여, $n \mod M$ 에만 의존하는 비례 상수 $d_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 의 표를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계급 수가 1인 정수 계수 삼차 이차형식 $Q_{\bm{a}}$ 중에서 변수 $\bm{x}$ 에 합동 조건이 있는 표현 수 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 가 $r_{\bm{a}}(n)$ 과 균일하게 비례하는 경우는 무엇인가?
• RQ2 표현 수 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 과 $r_{\bm{a}}(n)$ 를 연결하는 비례 상수 $d_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ 의 명시적 값은 무엇이며, $n \mod M$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 피터슨과 엘베르가 특정 $\bm{h}$ 와 $N$ 에 대해 관찰한 항등식은 계급 수가 1인 모든 형식으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 변수 $\bm{x}$ 에 대한 합동 조건이 표현이 고정된 모듈로 $N$ 에서의 잔여류에 속하게 하는 정도는 어느 정도이며, 언제 이러한 성질이 성립하지 않는가?
• RQ5 국소 밀도 $\beta_{(Q,\bm{h},N),p}(n)$ 는 어떻게 사용되어 표현 수와 히르츠 위치 클래스 수를 연결하는 전역 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\bm{a} \in \mathcal{C}$ 와 모든 $ (\bm{h}, N) \in \mathcal{S}_{\bm{a}} $ 에 대해, $ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) = d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) r_{\bm{a}}(n) $ 이 성립하며, 여기서 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ 은 $ n \mod M $ 에만 의존한다.
• 특히 $\bm{a} = (1,1,1)^T$ 인 경우, $\bm{h} = (0,1,1)^T$ 일 때 $ r_{\bm{1},\bm{h},4}(n) = \frac{1}{12} \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} r_{\bm{1}}(n) = \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} H(4n) $ 이 성립하며, 이는 표현 수와 히르츠 위치 클래스 수를 연결한다.
• 특히 $\bm{a} = (1,2,2)^T$ 이고 $\bm{h} \in \{(1,0,3)^T, (3,1,2)^T\}$ 일 때, $ r_{\bm{a},\bm{h},6}(n) = \delta_{n \equiv 19 \pmod{24}} (H(4n) - 2H(n)) $ 가 성립하며, 이는 합동 계열에 대한 비자명한 의존성을 보여준다.
• 비례 상수 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ 는 부록 A에 명시적으로 표로 정리되어 있으며, 해당 합동 계열이 존재하지 않을 경우 값이 0이다.
• 이 방법은 이러한 항등식이 오직 $Q_{\bm{a}}$ 가 계급 수 1을 가질 때에만 발생함을 Siegel-Weil 평균과 국소 밀도 분석을 통해 확인한다.
• valence 공식을 통해 측도 형식 공간의 차원에 대한 경계를 제공함으로써, 모든 $\bm{a} \in \mathcal{C}$ 에 대해 모듈라 항등식의 검증이 가능하며, 계수 값은 부록 D에 나열되어 있다.