[논문 리뷰] Class of smooth functions in Dirichlet spaces

Partrick J. Fitzsimmons, Liping Li|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $C_c^\infty(E)$가 도메인 $E \subset \mathbb{R}^d$ 위의 정규 딜레클 형식 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$의 특수 표준 코어가 되는 조건을 조사하며, 좌표 함수에 대한 후쿠시마 분해를 분석한다. 마팅게일 부분이 브라운 운동이고 영 에너지 부분이 유계 변동성을 갖지 않을 경우, 초기 조건과 독립적인 불가측한 많은 수의 SDE 해가 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

Given a regular Dirichlet form $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ on a fixed domain $E$ of $\mathbb{R}^d$, we first indicate that the basic assumption $C_c^\infty(E)\subset \mathcal{F}$ is equivalent to the fact that each coordinate function $f^i(x)=x_i$ locally belongs to $\mathcal{F}$ for $1\leq i\leq d$. Our research starts from these two different viewpoints. On one hand, we shall explore when $C_c^\infty(E)$ is a special standard core of $\mathcal{F}$ and give some useful characterizations. On the other hand, we shall describe the Fukushima's decompositions of $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ with respect to the coordinates functions, especially discuss when their martingale part is a standard Brownian motion and what we can say about their zero energy part. Finally, when we put these two kinds of discussions together, an interesting class of stochastic differential equations are raised. They have uncountable solutions that do not depend on the initial condition.

연구 동기 및 목표

• 도메인 $E \subset \mathbb{R}^d$ 위의 정규 딜레클 형식 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$에 대해 $C_c^\infty(E)$가 특수 표준 코어가 되는 조건을 규명하는 것.
• 마팅게일 부분이 표준 브라운 운동일 경우, 좌표 함수 $f^i(x) = x_i$에 대한 후쿠시마 분해를 분석하는 것.
• 분해의 영 에너지 부분의 특성과 그 변동성 성질을 규명하는 것.
• 관련 확산 과정이 세미마르팅게일이 되지 못하는 조건을 규명하는 것.
• 코어 조건과 분해 구조 간의 상호작용으로부터 유도되는 불가측한 수의 SDE 해가 어떻게 나타나는지 탐구하는 것.

제안 방법

• $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$와 각 좌표 함수 $x_i$가 국소적으로 ${\mathcal{F}}$에 속한다는 것 사이의 동치성을 확립하는 것.
• 정규 딜레클 형식의 이론과 그에 관련된 마코프 과정을 이용하여 후쿠시마 분해를 분석하는 것: $f(X_t) - f(X_0) = M^{[f]}_t + N^{[f]}_t$.
• 에너지와 정규성 조건이 특정 조건을 만족할 경우 마팅게일 부분 $M^{[f]}$가 표준 브라운 운동임을 규명하는 것.
• 부드러운 부호 측도와 그에 관련된 가군 함수열을 통해 영 에너지 부분 $N^{[f]}$를 분석하는 것.
• $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 위의 부분 딜레클 형식을 이용하여 특이점에서의 가군 함수열의 행동을 연구하는 것.
• 용량 추정과 준연속성 추론을 통해 특정 가군 함수열이 유계 변동성을 갖지 않음을 보이며, 이는 비세미마르팅게일 행동을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $C_c^\infty(E)$가 도메인 $E \subset \mathbb{R}^d$ 위의 정규 딜레클 형식 $({\mathcal{E}}, {\mathcal{F}})$의 특수 표준 코어가 되는가?
• RQ2 좌표 함수의 후쿠시마 분해에서 마팅게일 부분이 표준 브라운 운동이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 디릴레클 형식이 정규이고 $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$일 경우, 분해의 영 에너지 부분에 대해 무엇을 말할 수 있는가?
• RQ4 분해의 영 에너지 부분이 유게 변동성을 갖지 않을 수 있으며, 이는 관련 과정에 대해 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 코어 조건과 분해 구조 간의 상호작용으로부터 유도되는 어떤 종류의 확률미분방정식이 나타나며, 그 해의 성질은 어떠한가?

주요 결과

• $C_c^\infty(E) \subset {\mathcal{F}}$ 조건은 각 좌표 함수 $x_i$가 국소적으로 ${\mathcal{F}}$에 속한다는 것과 동치이다.
• 후쿠시마 분해에서 $f(x) = x_i$의 마팅게일 부분이 표준 브라운 운동이라면, 관련 딜레클 형식은 특수 표준 코어를 갖는다.
• $\mathbb{R}^3$에서 $\gamma > 0$인 예제에서 분해의 영 에너지 부분 $N^{[f]}$는 유게 변동성을 갖지 않으며, 이는 과정이 세미마르팅게일이 아님을 암시한다.
• 원점의 용량은 양수이다: $\text{Cap}(\{0\}) = \frac{\gamma + \gamma c^2}{\gamma - c} > 0$, 여기서 $c = \gamma - \sqrt{\gamma^2 + 2}$이며, 이는 원점이 극점이 아님을 보여준다.
• $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$에서 $N^{[f^i]}$와 관련된 부드러운 부호 측도 $\nu_i$는 $g(0) > 0$를 만족하는 준연속 함수 $g$에 대해 무한적분을 갖기 때문에 $\mathbb{R}^3$ 위의 부드러운 측도로 확장될 수 없다.
• 용량이 양수이고, $\int g(x) \frac{\gamma|x|+1}{|x|} m(dx) < \infty$를 만족하는 준연속적이고 정확히 양수인 함수 $g$의 존재는 모순을 일으키며, 이는 영 에너지 부분이 유게 변동성을 갖지 않음을 증명한다.