[논문 리뷰] Classes caract\'eristiques des sch\'emas feuillet\'es

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 임의의 기저 위의 스킴에 대한 유도적 미분형식을 도입하여 고전적 미분형식을 유도 대수기하학을 통해 일반화한다. 유도 de Rham 코homology에 Hodge 필터를 구축하고, 유도적 미분형식을 따라 평탄한 접속을 가진 완전 복합체의 체르니 클래스가 관련 Hodge 등급 부분에 대해 0이 됨을 증명한다. 이는 양의 특성에서 Bott의 퇠퇴 정리의 확장과 양의 특성에서의 크리스탈린 코homology에 대한 Baum-Bott 유형의 잔여 공식을 제공하며, 양의 특성에서의 특이한 미분형식에 응용된다.

ABSTRACT

We study a notion of derived foliations on schemes and derived schemes of arbitrary characteristics. We introduce the Hodge filtration associated to a derived foliation, which functorialy filters derived de Rham cohomology. We use this filtration to study vanishing results of Chern classes of perfect complexes endowed with connexions along derived foliations. As an application, we prove a positive characteristic version of Bott's vanishing theorem and more generally of existence of residues for foliations with singularities due to Baum-Bott in characteristic zero.

연구 동기 및 목표

• 고전적 미분형식 이론을 유도 대수기하학을 통해 양의 특성으로 일반화한다.
• 유도 스킴 위의 군열 작용으로서 유도적 미분형식을 정의하여 Gm와 등급 원환면의 반직접곱을 통해 혼합 Hodge 구조를 캡처한다.
• 유도 de Rham 코homology에 Hodge 필터를 구축하여 종방향 및 정규 코hom로지컬 자료를 포착한다.
• 유도적 미분형식을 따라 평탄한 접속을 가진 완전 복합체의 체르니 클래스가 유도적 Hodge-등급 코homology에서 0이 됨을 증명한다.
• 양의 특성에서의 크리스탈린 코homology로 Bott의 퇠퇴 정리와 Baum-Bott 잔여 공식을 확장한다.

제안 방법

• Gm ⋉ Z의 반직접곱 H 작용으로서 유도적 미분형식을 정의한다. 여기서 Z는 [MRT19]에서 유래한 등급 원환면이다.
• 정규 콘에 대한 변형을 통해 고전적 Hodge 필터를 일반화하여 유도 de Rham 코homology에 Hodge 필터를 구성한다.
• Hodge 필터의 함자성에 의해 평탄한 접속을 가진 완전 복합체의 체르니 클래스가 Hodge-0 부분에서 0이 됨을 증명한다.
• Hodge-PD 필터에 沿한 완비화를 통해 유도 de Rham 코homology와 크리스탈린 코homology를 연결한다.
• W(k) 위의 매끄러운 아핀 스킴에 대해 완비된 de Rham과 크리스탈린 코homology 사이의 비교 사상이 준위사상임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도 방법을 사용하여 고전적 Bott의 퇠퇴 정리를 양의 특성으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 양의 특성에서 특이한 미분형식에 대해 Baum-Bott 잔여 공식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 등급(Gm로부터)과 혼합 Hodge 구조(등급 원환면로부터)를 모두 캡처하는 올바른 유도적 일반화된 미분형식은 무엇인가?
• RQ4 유도 de Rham 코homology의 Hodge 필터는 종방향 및 정규 코hom로지컬 자료를 어떻게 포착하는가?
• RQ5 de Rham에서 크리스탈린 코homology로의 완비화 사상이 준위사상이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 완전 복합체가 유도적 미분형식을 따라 평탄한 접속을 지닐 경우, 그 체르니 클래스는 유도적 de Rham 코homology의 Hodge-등급 부분에서 차수 0에 대해 0이 된다.
• 양의 특성에서, 완전체 k 위의 매끄러운 다양체 X가 S = Spec W(k) 위의 유도적 미분형식의 기저 변경으로 유래된 미분형식을 가질 경우, 미분형식 배럴의 체르니 클래스에 대한 동차 다항식 φ(차수 q > d)는 크리스탈린 코homology에서 0이 된다: H2q cris(X/W(k))에서 φ(c1(D), ..., cd(D)) = 0.
• C∗_dR(X/S)의 유도적 Hodge 필터는 곱셈적이며 함자적이며, 차수 0 부분은 종방향(미분형식에 따른) 코homology를 계산한다.
• W(k)n 위의 매끄러운 아핀 스킴에 대해 Hodge-PD 필터된 de Rham 복합체에서 완비화 사상은 크리스탈린 코homology 복합체로의 준위사상이다.
• 완비화 사상 ψ: C∗_dR(Spec π0(A)/Sn) → bC∗_cris(Spec π0(A)/Sn)는 π0(A)가 매끄러운 단순 복합체 Wn(k)-대수 A에 대해 함자적이다.
• 핵심 기술적 단계는 기저 스킴이 k 위에서 매끄럽다면 크리스탈린 코homology 복합체의 Hodge-PD 필터가 완비됨을 증명하는 것으로, [Ber74, V-2.3.2]와 W(k)n로의 매끄러운 리프팅의 존재성에 기반한다.