[논문 리뷰] Classes of infinitely divisible distributions on R^d related to the class of selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Muneya Matsui외 1명|ArXiv.org|2009. 09. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℝ^d 상의 무한히 나누어지는 분포의 새로운 클래스를 도입하고 특성화하며, 주어키 클래스(s-selfdecomposable)와 자기분해가능 클래스 사이의 연결 클래스의 매개수 범위를 확장한다. 레비 과정에 대한 확률적 적분 사상들을 활용하여 포함된 부분클래스들을 정의하고 분석하며, 확률적 적분 표현과 레비 측도를 통한 이중 특성화를 제공한다. 주요 결과로는 반복된 사상에 대한 정의역 및 치역 조건과 레비 측도에 대한 모멘트 조건이 제시된다.

ABSTRACT

This paper studies new classes of infinitely divisible distributions on R^d. Firstly, the connecting classes with a continuous parameter between the Jurek class and the class of selfdecomposable distributions are revisited. Secondly, the range of the parameter is extended to construct new classes and characterizations in terms of stochastic integrals with respect to Levy processes are given. Finally, the nested subclasses of those classes are discussed and characterized in two ways: One is by stochastic integral representations and another is in terms of Levy measures.

연구 동기 및 목표

• ℝ^d에서 주어키 클래스와 자기분해가능 클래스 사이의 연결 클래스의 연속적인 매개수 범위를 확장하는 것.
• 레비 과정에 대한 확률적 적분 사상들을 활용하여 무한히 나누어지는 분포의 새로운 클래스를 정의하고 분석하는 것.
• 이 사상들의 치역을 두 가지 등가 접근 방식을 통해 특성화하는 것: 확률적 적분 표현과 레비 측도의 구조.
• 반복된 확률적 적분 사상으로 생성된 포함된 부분클래스를 연구하고, 소속 조건에 필요한 필수 및 충분 조건을 도출하는 것.

제안 방법

• 논문은 레비 측도의 반경 성분이 $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ 를 만족시키며, 비증가하는 $\ell_\xi$ 와 $\lim_{r\to\infty}\ell_\xi(r) = 0$ 를 만족하는 조건을 갖는 $\alpha < 2$ 에 대해 클래스 $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 를 정의한다.
• 레비 과정에 대한 확률적 적분을 통해 $\alpha \in \mathbb{R}$ 에 대해 사상 $\Phi_\alpha$ 를 도입하며, 이는 Sato (2006b)의 이전 결과를 일반화한다.
• 정의역 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ 는 모멘트 조건: $\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$ 와 $\gamma = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\nu(dx)$ 를 포함하는 특정한 드리프트 조건으로 특성화된다.
• 반복된 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 를 통해 포함된 부분클래스를 구성하며, 이들의 치역은 확률적 적분 형태와 명시적 레비 측도 조건을 모두 사용하여 특성화된다.
• 논문은 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 의 치역이 모든 $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ 로 구성되어 있으며, 그 레비 측도 $\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ 를 만족시키며, $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ 는 $t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$ 으로 정의됨을 증명한다.
• 레비 측도에 대한 소속 조건과 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 에서의 원상 존재 조건 사이의 등가성을 증명하며, 적분 수렴성과 모멘트 조건을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℝ^d에서 주어키 클래스와 자기분해가능 클래스 사이의 연결 클래스의 매개수 범위를 $\alpha \in [-1,0]$ 을 초월하여 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 무한히 나누어지는 분포의 새로운 클래스를 생성하는 데 사용되는 확률적 적분 사상 $\Phi_\alpha$ 의 정의역 및 치역 조건은 정확히 무엇인가?
• RQ3 반복된 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 에 의해 생성된 포함된 부분클래스는 레비 측도와 확률적 적분 표현을 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ4 레비 측도에 어떤 모멘트 조건이 성립해야, 분포가 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 의 치역에 속하게 되는가?
• RQ5 어떤 조건에서 주어진 무한히 나누어지는 분포가 정의역에 속한 다른 분포에 대해 $\Phi_\alpha^{m+1}$ 를 적용한 결과로 나타나는가?

주요 결과

• 모든 $\alpha < 2$ 에 대해 클래스 $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 는 반경 레비 측도 성분 $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ 를 통해 주어키 클래스($K_{-1}$)와 자기분해가능 클래스($K_0$)를 일반화하며, 이때 $\ell\_\xi$ 는 비증가하고 $r \to \infty$ 일 때 $\ell_\xi(r) \to 0$ 이다.
• 모든 $\alpha < 0$ 에 대해, $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ 의 분포에 대한 분해 가능성에 대한 완전한 증명을 제공하며, 기존 결과를 확장한다.
• 사상 $\Phi_\alpha$ 는 레비 과정에 대한 확률적 적분을 통해 정의되며, 그 정의역 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ 는 $\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$ 와 특정 드리프트 조건으로 특성화된다.
• $\Phi_\alpha^{m+1}$ 의 치역은 완전히 특성화되어 있다: 분포 $\widetilde{\mu}$ 가 치역에 속하는 것은 그 레비 측도 $\widetilde{\nu}$ 가 $\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ 를 만족시키며, 어떤 $\nu$ 가 정의역에 속할 때이다. 여기서 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t) = t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$ 이다.
• $0 < \alpha < 2$ 인 경우, $\Phi_\alpha^{m+1}$ 의 치역은 모든 $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ 로 구성되며, 그 레비 측도 $\widetilde{\nu}$ 는 $\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|x|^3}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx) < \infty$ 와 $\widetilde{\gamma} = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx)$ 를 만족시키며, 이는 드리프트 보정의 적분 가능성 보장한다.
• 논문은 $\Phi_\alpha^{m+1}(\mu) = \widetilde{\mu}$ 이다. 만약 레비 측도 $\widetilde{\nu}$ 와 드리프트 $\widetilde{\gamma}$ 가 $\nu$ 와 $\gamma$ 를 적분 커널 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ 를 통해 연결되며, 적분 수렴성이 치역에 속하는 것을 보장함을 증명한다.