[논문 리뷰] Classes of semigroups modulo Green's relation H

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 16.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그린의 관계 ℋ에 대한 역원을 통해 정의된 이四十군의 성질을 도입하고 연구한다. 이는 고전적인 개념인 역원과 오르소도크스 이십군을 일반화한다. ℋ-정규, ℋ-오르소도크스, 완전히 역원이 있는 이십군을 특성화하며, 완전히 역원이 있는 이십군을 특성화하는 데 핵심이 되는 것은 ℋ-교환성과 ℋ가 합동임을 보여주며, 암호화 및 조합적 역원 이십군에의 응용이 있다.

ABSTRACT

Inverses semigroups and orthodox semigroups are either defined in terms of inverses, or in terms of the set of idempotents E(S). In this article, we study analogs of these semigroups defined in terms of inverses modulo Green's relation H, or in terms of the set of group invertible elements H(S), that allows a study of non-regular semigroups. We then study the interplays between these new classes of semigroups, as well as with known classes of semigroups (notably inverse, orthodox and cryptic semigroups)

연구 동기 및 목표

• 그린의 관계 ℋ에 대한 역원을 이용해 고전적인 이십군 클래스(예: 역원, 오르소도크스)를 일반화하기.
• ℋ-역원과 군 역원 요소 ℋ(S)를 기반으로 하는 새로운 이십군 클래스를 정의하고 연구하기.
• ℋ-모듈러 역원과 기존의 이십군 클래스, 특히 역원, 오르소도크스, 암호화 이십군 간의 상호작용을 조사하기.
• ℋ-교환성, ℋ가 합동임, 그리고 ℋ(S) = Z(E(S))를 통해 완전히 역원이 있는 이십군을 특성화하기.
• ℋ가 합동임 역할과 그 이십군의 구조적 함의, 특히 역원 이십군에서의 함의를 명확히 하기.

제안 방법

• a에 대한 ℋ-동반자를 axaℋa의 해로 정의하고, ℋ에 대한 역원을 axaℋa와 xaxℋa의 해로 정의한다.
• 역원의 원소에 따른 구성(а′∥а)을 사용하여 ℋ-역원을 특성화하며, axaℋa와의 동치성을 보인다.
• 그린의 전순서 및 관계(ℒ, ℛ, ℋ)를 사용하여 ℋ-클래스 내의 구조 및 합동 성질을 분석한다.
• ℋ(a) = ℋ(a²)를 통해 군 역원 요소를 특성화하며, 이를 최대 부분군과 연결한다.
• 완전히 역원이 있는 이십군에서 ℋ가 합동임은 ℋ(S) = Z(E(S))이면서 ℋ가 ℋ-교환 가능할 때이고, 그 역도 성립함을 보인다.
• 자유 역원 이십군의 보편 성질을 이용하여, 완전히 역원이 있는 이십군의 클래스가 동형 상의 영향을 받지 않는다는 것을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 원소 a가 그린의 관계 ℋ에 대해 정규 쌍을 이루며, 이는 정규 이십군에서의 역원 개념을 어떻게 일반화하는가?
• RQ2 ℋ(S)가 ℋ-교환 가능하거나 클리포드 이십군을 이루는 조건은 무엇인가?
• RQ3 역원 이십군에서 그린의 관계 ℋ가 합동이 되는 조건은 무엇이며, 이는 암호화 이십군 개념과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 ℋ-오르소도크스 및 ℋ-역원으로 닫힌 이십군은 고전적인 오르소도크스 및 역원 이십군 클래스와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 완전히 역원이 있는 이십군의 클래스는 동형 상의 영향을 받는가? 이는 그 대수적 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 이십군 S가 완전히 역원이 되기 위한 필요충분조건은 S가 정규이면서 ℋ(S)가 ℋ-교환 가능할 때이다.
• 이십군 S가 완전히 역원이 되기 위한 필요충분조건은 ℋ(S)가 클리포드 이십군일 때이다.
• 이십군 S가 완전히 역원이 되기 위한 필요충분조건은 ℋ(S) = Z(E(S))일 때이다.
• 완전히 역원이 있는 이십군는 ℋ = μ = ν = ρℋ(S)를 만족한다. 여기서 μ는 아이디포텐트를 분리하는 최대 합동이다.
• 이중 이십군은 ℋ(S) = E(S) 이므로 완전히 역원이 있으며, 일반적으로 조합적 역원 이십군은 모두 완전히 역원이 있다.
• 완전히 역원이 있는 이십군의 클래스는 (2,1)-대수의 다양체가 아니며, 동형 상의 영향을 받지 않기 때문이다. 예를 들어 자유 역원 이십군은 비완전히 역원이 있는 역원 이십군으로 동형으로 사라진다.