[논문 리뷰] Classical algorithms and quantum limitations for maximum cut on high-girth graphs

Boaz Barak, Kunal Marwaha|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고순환성 그래프에서 최대 컷 문제에 대한 국소 양자 및 고전적 알고리즘의 성능을 분석한다. 하나의 국소 양자 및 고전적 알고리즘은 1/2 + C/√D 이하의 성능을 보이며, 여기서 C ≈ 0.707 이다. 반면 고전적 k-국소 알고리즘은 1/2 + 2/π√D − O(1/√k)의 성능을 달성하여 고순환성 그래프에서 일정 깊이의 QAOA를 능가한다. 실험 결과는 모든 인스턴스에서 고전적 알고리즘이 QAOA를 점별적으로 압도할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

We study the performance of local quantum algorithms such as the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) for the maximum cut problem, and their relationship to that of classical algorithms. (1) We prove that every (quantum or classical) one-local algorithm achieves on $D$-regular graphs of girth $> 5$ a maximum cut of at most $1/2 + C/\sqrt{D}$ for $C=1/\sqrt{2} \approx 0.7071$. This is the first such result showing that one-local algorithms achieve a value bounded away from the true optimum for random graphs, which is $1/2 + P_*/\sqrt{D} + o(1/\sqrt{D})$ for $P_* \approx 0.7632$. (2) We show that there is a classical $k$-local algorithm that achieves a value of $1/2 + C/\sqrt{D} - O(1/\sqrt{k})$ for $D$-regular graphs of girth $> 2k+1$, where $C = 2/\pi \approx 0.6366$. This is an algorithmic version of the existential bound of Lyons and is related to the algorithm of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle (ALR) for the Sherrington-Kirkpatrick model. This bound is better than that achieved by the one-local and two-local versions of QAOA on high-girth graphs. (3) Through computational experiments, we give evidence that the ALR algorithm achieves better performance than constant-locality QAOA for random $D$-regular graphs, as well as other natural instances, including graphs that do have short cycles. Our experimental work suggests that it could be possible to extend beyond our theoretical constraints. This points at the tantalizing possibility that $O(1)$-local quantum maximum-cut algorithms might be *pointwise dominated* by polynomial-time classical algorithms, in the sense that there is a classical algorithm outputting cuts of equal or better quality *on every possible instance*. This is in contrast to the evidence that polynomial-time algorithms cannot simulate the probability distributions induced by local quantum algorithms.

연구 동기 및 목표

• 최대 컷 문제에서 다항 시간 고전적 알고리즘이 QAOA와 같은 국소 양자 알고리즘을 모든 그래프에서 점별적으로 지배할 수 있는지 조사한다.
• D-정규 고순환성 그래프에서의 일국소 및 k-국소 고전적 및 양자 알고리즘의 성능에 대한 이론적 상한을 설정한다.
• 계산 실험을 통해 고순환성 가정을 초월한 고전적 알고리즘과 양자 알고리즘 간의 성능 격차가 지속되는지 평가한다.
• 고순환성 그래프에서 1/2 + P*/√D + o(1/√D)의 최적 근사 비율을 달성할 수 있는 고전적 알고리즘의 가능성을 탐색한다.

제안 방법

• 스펙트럼 및 확률적 추론을 사용하여, 순환성 > 5인 D-정규 그래프에서 모든 일국소 알고리즘에 대해 1/2 + 1/√(2D)의 상한을 증명한다.
• 아이젠만-레비티츠-룰레(ALR) 방법을 영감으로 삼아, 순환성 > 2k+1인 D-정규 그래프에서 1/2 + 2/π√D − O(1/√k)의 성능을 달성하는 고전적 k-국소 알고리즘을 구성한다.
• 고순환성 그래프의 나무 유사 이웃 구조를 활용하여 최대 컷 문제를 정규 나무에서의 국소 결정 문제로 환원한다.
• 랜덤 정규 그래프, 격자, 토러스에서의 계산 실험을 통해 ALR와 QAOA의 성능을 다양한 깊이와 그래프 구조에서 비교한다.
• 작은 순환을 포함한 그래프, 예를 들어 GW와 ALR가 실패하는 그래프의 분리된 단위에서 QAOA와 ALR의 성능을 분석한다.
• 저자 주니어 등(2020a)의 기존 QAOA 시뮬레이션 결과를 활용하여 실세계 인스턴스에서 ALR와 QAOA의 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 그래프, 특히 짧은 순환이 포함된 그래프에서도 다항 시간 고전적 알고리즘이 O(1)-국소 양자 알고리즘을 점별적으로 지배할 수 있는가?
• RQ2 고순환성 D-정규 그래프에서 일국소 알고리즘이 1/2 + C/√D 이하의 성능를 달성할 수 있는 최적의 상수 C는 얼마인가?
• RQ3 고순환성 랜덤 D-정규 그래프에서 ALR 기반 고전적 k-국소 알고리즘이 일정 깊이의 QAOA를 능가하는가?
• RQ4 격자 및 토러스와 같은 작은 순환을 포함한 그래프에서 고전적 알고리즘의 QAOA에 대한 성능 우위를 관찰할 수 있는가?
• RQ5 D-정규 고순환성 그래프에서 1/2 + P*/√D + o(1/√D)의 점근적 최적 값에 도달할 수 있는 고전적 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• D-정규 고순환성 그래프에서의 일국소 알고리즘은 1/2 + 1/√(2D) ≈ 1/2 + 0.707/√D 이하의 성능를 보이며, 이는 진정한 최적값 1/2 + 0.763/√D에서 벗어나 있다.
• 고전적 k-국소 알고리즘은 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) ≈ 1/2 + 0.6366/√D − O(1/√k)의 성능를 달성하여 고순환성 그래프에서 일국소 및 이국소 QAOA를 능가한다.
• 계산 실험 결과, ALR 알고리즘이 랜덤 정규 그래프와 작은 순환을 포함한 그래프에서 일정 깊이의 QAOA를 항상 능가함을 보여주며, 격자 및 토러스를 포함한다.
• ALR 알고리즘은 격자 및 토러스와 같은 이분 그래프에서 최적의 컷 1을 달성하지만, p ≪ n인 QAOA는 최적값에 도달하지 못한다.
• 이론적 결과는 O(1)-국소 양자 알고리즘이 고전적 알고리즘에 의해 점별적으로 지배될 수 있음을 시사하지만, 모든 그래프에 대해 이를 증명한 것은 아니다.
• 실험 결과, 그래프 크기가 깊이 p에 비해 증가함에 따라 QAOA의 성능가 고전적 알고리즘에 비해 악화됨을 보여주며, 이는 p가 n과 함께 증가해야 성능 우위를 확보할 수 있음을 시사한다.