[논문 리뷰] Classical Algorithms for Constant Approximation of the Ground State Energy of Local Hamiltonians

François Le Gall|arXiv (Cornell University)|2024. 10. 29.

Numerical methods for differential equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 n 큐비트의 k-로컬 하미르토니안에 대한 기저 상태 에너지의 상수 근사값을 구하는 고전적 알고리즘을 제시한다. 초과율 χ를 갖는 가이딩 상태에 대한 샘플 및 쿼리 액세스를 가정할 때, 다항식 시간 poly(1/χ, n)과 다항식 공간 poly(n) 내에서 상수 정밀도 추정을 수행하며, 다항식 오버헤드를 제외하고는 양자 알고리즘의 복잡도를 재현한다. 가이딩 상태가 없는 경우, 2^O(n) 시간과 다항식 공간을 달성하여, 동시에 효율성의 경계를 확보하는 데 있어 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We construct classical algorithms computing an approximation of the ground state energy of an arbitrary $k$-local Hamiltonian acting on $n$ qubits. We first consider the setting where a good ``guiding state'' is available, which is the main setting where quantum algorithms are expected to achieve an exponential speedup over classical methods. We show that a constant approximation (i.e., an approximation with constant relative accuracy) of the ground state energy can be computed classically in $\mathrm{poly}\left(1/χ,n ight)$ time and $\mathrm{poly}(n)$ space, where $χ$ denotes the overlap between the guiding state and the ground state (as in prior works in dequantization, we assume sample-and-query access to the guiding state). This gives a significant improvement over the recent classical algorithm by Gharibian and Le Gall (SICOMP 2023), and matches (up a to polynomial overhead) both the time and space complexities of quantum algorithms for constant approximation of the ground state energy. We also obtain classical algorithms for higher-precision approximation. For the setting where no guided state is given (i.e., the standard version of the local Hamiltonian problem), we obtain a classical algorithm computing a constant approximation of the ground state energy in $2^{O(n)}$ time and $\mathrm{poly}(n)$ space. To our knowledge, before this work it was unknown how to classically achieve these bounds simultaneously, even for constant approximation. We also discuss complexity-theoretic aspects of our results.

연구 동기 및 목표

• 가이딩 하미르토니안 설정 하에서 고전적 알고리즘과 양자 알고리즘 간의 기저 상태 에너지 추정 복잡도 격차를 해소하기 위해.
• 가이딩 상태가 없는 국소 하미르토니안 문제에서 동시에 2^O(n) 시간과 다항식 공간을 달성하는 고전적 알고리즘을 확보하기 위해.
• 상수 정밀도 근사에서 양자 위상 추정의 고전적 대체 방법을 제공하여, 복잡도 면에서 양자 스피드업을 재현하기 위해.
• QMA-난이도 문제와 양자 PCP 추측의 맥락에서 고전적 탈양자화의 복잡도론적 함의를 규명하기 위해.

제안 방법

• 양자 특이값 변환(QSVT) 프레임워크를 고전 계산에 적응시켜 스펙트럼 프ro젝터의 다항식 근사를 사용한다.
• 에너지 간격에 대한 이진 탐색을 수행하여 기저 상태 에너지를 찾는다. 이때, 에너지가 임계값 이하인지 이상인지 판단하기 위해 저차수 다항식 기반의 테스트 함수를 사용한다.
• 가이딩 상태에 대한 샘플 및 쿼리 액세스를 활용하여 농도 추정기를 적용하여 ⟨ψ|P(A′)|ψ⟩의 기댓값을 높은 확률로 근사한다.
• 에너지가 임계값 이하일 경우 기댓값이 크고, 이상일 경우 작게 만드는 데 목적이 있는 매개변수 τ, θ, ξ를 갖는 다항식 P를 구성한다. 이를 통해 이진 탐색이 가능해진다.
• 최종 추정의 고확률 정확성을 확보하기 위해 O(1/ε)개의 테스트에 대해 유니언 바운드를 적용한다.
• 가이딩 상태가 없는 경우, 알려진 초과율 2^(-n/2)를 갖는 최대 얽힘 상태를 가이딩 상태로 구성하여 가이딩 알고리즘의 적용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 알고리즘이 샘플 및 쿼리 액세스를 통해 초과율 χ를 갖는 가이딩 상태를 제공받을 때, k-로컬 하미르토니안의 기저 상태 에너지에 대해 상수 정밀도 근사를 다항식 시간 내에 달성할 수 있는가?
• RQ2 가이딩 상태가 없는 국소 하미르토니안 문제에서 동시에 2^O(n) 시간과 다항식 공간을 달성하는 것이 가능한가?
• RQ3 가이딩 설정에서 고전적 알고리즘이 양자 알고리즘의 복잡도를 재현하기 위해 필요한 최소 초과율 χ는 얼마인가?
• RQ4 가이딩 상태에 대한 샘플 및 쿼리 액세스는 어떻게 하여 고전적 알고리즘이 위상 추정과 같은 양자 알고리즘을 시뮬레이션할 수 있게 하는가?
• RQ5 국소 하미르토니안 문제 및 양자 PCP 추측과 같은 문제들에 대해 고전적 탈양자화의 복잡도론적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 샘플 및 쿼리 액세스를 통해 초과율 χ를 갖는 가이딩 상태를 제공받을 경우, 고전적 알고리즘이 poly(1/χ, n) 시간과 poly(n) 공간 내에서 기저 상태 에너지의 상수 근사를 수행한다.
• 이전 작업(Gharibian 및 Le Gall, 2023)의 n^O(log(1/χ)/ε)에서 poly(1/χ^{1/ε}, n)으로 시간 복잡도가 향상되어 1/χ에 대한 지수적 속도 향상 달성.
• 상수 정밀도(ε = Ω(1))의 경우 시간 복잡도는 poly(1/χ, n)이며, 다항식 오버헤드를 제외하고는 양자 알고리즘의 복잡도를 정확히 재현한다.
• 가이딩 상태가 없는 국소 하미르토니안 문제에 대해 2^O(n) 시간과 다항식 공간을 동시에 확보하는 첫 번째 고전적 알고리즘이다. 이는 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 다항식 근사와 농도 추정 기반의 새로운 이진 탐색 프레임워크를 사용하여 기저 상태 에너지를 높은 신뢰도로 탐색한다.
• 최대 얽힘 상태를 보편적 가이딩 상태로 구성함으로써 가이딩 알고리즘을 가이딩 상태가 없는 경우에 적용할 수 있게 되었으며, 이로 인해 χ = 2^{-n/2}일 때 2^O(n) 시간 복잡도를 확보할 수 있었다.