[논문 리뷰] Classical and Quantum Bounded Depth Approximation Algorithms

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 47

한 줄 요약

논문은 MAX-K-LIN-2 및 MAX-CUT에 대한 로컬 고전 및 양자 제한 깊이 알고리즘을 분석하여, 간단한 한 단계 로컬 고전 알고리즘이 여러 경우에서 한 단계 QAOA를 능가하거나 일치시킬 수 있으며, 특정 문제에 대해서는 고정 깊이 로컬 스킴으로는 전역 깊이를 따라잡을 수 없음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider some classical and quantum approximate optimization algorithms with bounded depth. First, we define a class of "local" classical optimization algorithms and show that a single step version of these algorithms can achieve the same performance as the single step QAOA on MAX-3-LIN-2. Second, we show that this class of classical algorithms generalizes a class previously considered in the literature, and also that a single step of the classical algorithm will outperform the single-step QAOA on all triangle-free MAX-CUT instances. In fact, for all but $4$ choices of degree, existing single-step classical algorithms already outperform the QAOA on these graphs, while for the remaining $4$ choices we show that the generalization here outperforms it. Finally, we consider the QAOA and provide strong evidence that, for any fixed number of steps, its performance on MAX-3-LIN-2 on bounded degree graphs cannot achieve the same scaling as can be done by a class of "global" classical algorithms. These results suggest that such local classical algorithms are likely to be at least as promising as the QAOA for approximate optimization.

연구 동기 및 목표

• MAX-K-LIN-2 및 MAX-CUT에 대해 로컬(경계 깊이) 최적화 알고리즘의 클래식 및 양자 범주를 동기 부여하고 형식화한다.
• 선정된 문제에서 한 단계 로컬 고전 알고리즘의 성능을 한 단계 QAOA와 비교한다.
• 로컬 알고리즘의 일반화를 통해 로컬 고전 방법이 QAOA를 능가할 수 있는 영역을 확인한다.
• 로컬 알고리즘의 한계를 보여주고 전역 매개변수 체계가 필요한 경우를 논의한다.

제안 방법

• 로컬 알고리즘을 사이트와 연관된 자유도들의 보유 깊이의 회로 또는 고전 계산으로의 경향적 업데이트로 정의한다.
• 업데이트가 OBJ 함수에 따라 v_{a+1} = g_a(v_a + c_a F_a) 또는 이와 유사한 형태의 텐서 알고리즘 프레임워크를 도입한다.
• 단일 단계 업데이트와 소프트-스핀 할당으로 MAX-3-LIN-2를 특수화하여 Θ(D^{1/4} N)의 목표 기대치를 얻는다.
• 오차 항을 텐서-네트워크 도식적 접근과 텐서-네트워크 수축에 대한 일반적인 보조 정리로 하한하고 상향 조절한다.
• 로컬 텐서 알고리즘을 시뮬레이티드 어닐링과 연결하고 병렬 업데이트에서의 동등성을 보인다.
• 삼각형이 없는 그래프의 MAX-CUT를 분석하고, 한 단계 QAOA와 로컬 임계값(및 소프트-임계값) 고전 알고리즘을 비교하며 임계값 매개변수 τ의 최적화를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 깊이의 로컬 고전 알고리즘이 MAX-3-LIN-2 및 삼각형 없는 그래프의 MAX-CUT에서 한 단계 QAOA를 일치시키거나 능가할 수 있는가?
• RQ2 로컬 고전 알고리즘의 목표 값이 차수 D와 그래프 크기 N에 대해 QAOA와 비교하여 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 로컬 알고리즘의 일반화(텐서 알고리즘)가 QAOA보다 개선을 제공하는가, 그리고 그 한계는 어디에 있는가?
• RQ4 한정된 깊이의 로컬 스킴을 넘는 더 깊은 깊이 또는 비국소적(전역 매개변수) 선택이 성능을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 홀수 K에 대해 MAX-K-LIN-2에 결과가 어떻게 확장되며 짝수 K에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• MAX-3-LIN-2에서 단일 단계 로컬 텐서 알고리즘은 Θ(D^{1/4} N)의 목표 값을 달성하여 한 단계 QAOA의 스케일링과 일치한다.
• 삼각형 없는 MAX-CUT에서 단일 단계 로컬 고전 알고리즘은 도수 D가 {3,4,6,11}인 경우를 제외하고 모든 경우에서 한 단계 QAOA를 능가하며, 매개변수 일반화나 수치 확인 후에도 일부 경우는 고전 방법이 더 우세하다.
• 거의 모든 차수 선택에 대해 기존의 단일 단계 로컬 고전 알고리즘이 이미 삼각형 없는 그래프에서 QAOA를 능가하며, 네 가지 남은 차수 선택에서 일반화된 접근이 QAOA를 능가한다.
• 고정된 QAOA 단계 수에 대해 볼 때, 경계 차수 그래프에서 MAX-3-LIN-2의 성능 스케일링은 전역 고전 알고리즘의 성능 스케일링에 도달하지 못함으로써 순전히 로컬 접근의 한계를 강조한다.
• 로컬 고전 알고리즘(Hirvonen 등 2014 스타일)은 텐서-알고리즘 프레임워크의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 매개 변수를 최적화하면 여러 설정에서 QAOA를 이길 수 있다.
• 로컬 알고리즘이 매우 경쟁력 있을 수 있는 반면, 한계도 존재하여 제한된 깊이의 깊이를 늘려도 성능 향상이 크지 않은 문제가 존재한다는 점을 강조한다.