[논문 리뷰] Classical deformations of local surfaces and their moduli of instantons

Severin Barmeier, Elizabeth Gasparim|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 05.

Geometry and complex manifolds인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비콤팩트 표면 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$의 준보편적 변형을 연구하고, 임의의 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$가 애매하게 아핀임을 증명한다. $Z_k$ 위의 순간자 모듈리 공간이 준콤팩트임에 비해, 핵심 결과는 $\mathcal{Z}_k$ 위의 순간자 모듈리 공간이 공백임을 나타내며, 이는 변형된 기하학에서 순간자 해법에 대한 근본적인 장애를 시사한다.

ABSTRACT

We describe the semiuniversal deformation spaces for the noncompact surfaces $Z_k := \operatorname{Tot} (\mathcal O_{\mathbb P^1} (-k))$ and prove that any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ of $Z_k$ is affine. It is known that the moduli spaces of instantons of charge $j$ on $Z_k$ are quasi-projective varieties of dimension $2j-k-2$. In contrast, our results imply that the moduli spaces of instantons on any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ are empty.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 표면 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$의 준보편적 변형 공간을 기술하기 위해.
• 표면 $Z_k$의 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$의 기하학적 성질을 규명하기 위해.
• $\mathcal{Z}_k$ 위의 순간자 모듈리 공간의 존재성과 구조를 조사하기 위해.
• $Z_k$ 위의 순간자 모듈리 공간 성질와 그 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$ 위의 성질를 비교하기 위해.

제안 방법

• Z_k의 형식적 변형 이론을 분석하여 준보편적 변형 공간을 구성하기 위해.
• 코homological 및 기하학적 추론을 사용하여, $Z_k$의 모든 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$가 아phin임을 증명하기 위해.
• 기존에 알려진 $Z_k$ 위의 순간자 모듈리에 대한 결과를 기준점으로 삼기 위해. 이는 전하 $j$에 대해 차원 $2j - k - 2$인 준콤팩트임을 안다.
• 모듈리 공간이 비어 있음을 유도하기 위해 $\mathcal{Z}_k$의 아핀성과 함께, 아핀 다양체 위에서 비자명한 호로모르픽 번들의 순간자 유사 성질이 존재하지 않음을 이용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$의 준보편적 변형 공간의 구조는 무엇인가?
• RQ2 표면 $Z_k$의 모든 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$는 아핀인가?
• RQ3 $\mathcal{Z}_k$ 위의 순간자 모듈리 공간은 $Z_k$ 위의 그것과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 왜 $Z_k$ 위에서는 존재하는 순간자 모듈리 공간이 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$ 위에서는 사라지는가?

주요 결과

• 표면 $Z_k$의 준보편적 변형 공간이 명시적으로 기술되었으며, 이는 변형의 완전한 국소 모듈리 공간을 제공한다.
• 표면 $Z_k$의 모든 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$가 아핀임을 증명하였다.
• 전하 $j$에 대한 $Z_k$ 위의 순간자 모듈리 공간은 이전에 알려진 바와 같이 차원 $2j - k - 2$인 준콤팩트 다양체이다.
• 모든 비자명한 변형 $\mathcal{Z}_k$ 위의 순간자 모듈리 공간은 $\mathcal{Z}_k$의 아핀성과 관련된 결과로 인해 공백임을 증명하였다. 이는 비자명한 순간자 해법이 존재하지 않음을 의미한다.